Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17547 / 51447
↖ ↑ ↗
← S 71.058015°
W 83.611450°		 ← 198.29 m → S 71.058015°
W 83.605957°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
S 71.059798°
W 83.611450°		 ← 198.27 m →
39 312 m²		 S 71.059798°
W 83.605957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267753601074219 y=0.785026550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267753601074219 × 216)
    floor (0.267753601074219 × 65536)
    floor (17547.5)     		tx = 17547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785026550292969 × 216)
    floor (0.785026550292969 × 65536)
    floor (51447.5)     		ty = 51447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17547 / 51447 ti = "16/17547/51447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17547/51447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17547 ÷ 216
    17547 ÷ 65536     		x = 0.267745971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51447 ÷ 216
    51447 ÷ 65536     		y = 0.785018920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267745971679688 × 2 - 1) × π
    -0.464508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45929510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785018920898438 × 2 - 1) × π
    -0.570037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79082669600606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45929510} λ = -1.45929510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79082669600606))-π/2
    2×atan(0.166822201398372)-π/2
    2×0.165300004687026-π/2
    0.330600009374052-1.57079632675     		φ = -1.24019632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45929510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.611450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24019632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.058015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17547 KachelY 51447 -1.45929510 -1.24019632 -83.611450 -71.058015
    Oben rechts KachelX + 1 17548 KachelY 51447 -1.45919922 -1.24019632 -83.605957 -71.058015
    Unten links KachelX 17547 KachelY + 1 51448 -1.45929510 -1.24022744 -83.611450 -71.059798
    Unten rechts KachelX + 1 17548 KachelY + 1 51448 -1.45919922 -1.24022744 -83.605957 -71.059798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24019632--1.24022744) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24019632--1.24022744) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45929510--1.45919922) × cos(-1.24019632) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.324610601866122 × 6371000     		do = 198.288866573941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45929510--1.45919922) × cos(-1.24022744) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32458116692711 × 6371000     		du = 198.270886197881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24019632)-sin(-1.24022744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324610601866122-0.32458116692711)×R²
    abs(-1.45919922--1.45929510)×2.94349390121407e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.94349390121407e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.94349390121407e-05×40589641000000     		ar = 39312.0628002697m²