Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17546 / 51527
↖ ↑ ↗
← S 71.200150°
W 83.616943°		 ← 196.83 m → S 71.200150°
W 83.611450°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 71.201920°
W 83.616943°		 ← 196.82 m →
38 735 m²		 S 71.201920°
W 83.611450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267738342285156 y=0.786247253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267738342285156 × 216)
    floor (0.267738342285156 × 65536)
    floor (17546.5)     		tx = 17546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786247253417969 × 216)
    floor (0.786247253417969 × 65536)
    floor (51527.5)     		ty = 51527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17546 / 51527 ti = "16/17546/51527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17546/51527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17546 ÷ 216
    17546 ÷ 65536     		x = 0.267730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51527 ÷ 216
    51527 ÷ 65536     		y = 0.786239624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.46453857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45939097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786239624023438 × 2 - 1) × π
    -0.572479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79849659994527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45939097} λ = -1.45939097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79849659994527))-π/2
    2×atan(0.165547585478078)-π/2
    2×0.16405964446435-π/2
    0.3281192889287-1.57079632675     		φ = -1.24267704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45939097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.616943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24267704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.200150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17546 KachelY 51527 -1.45939097 -1.24267704 -83.616943 -71.200150
    Oben rechts KachelX + 1 17547 KachelY 51527 -1.45929510 -1.24267704 -83.611450 -71.200150
    Unten links KachelX 17546 KachelY + 1 51528 -1.45939097 -1.24270793 -83.616943 -71.201920
    Unten rechts KachelX + 1 17547 KachelY + 1 51528 -1.45929510 -1.24270793 -83.611450 -71.201920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24267704--1.24270793) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dl = 196.800189999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24267704--1.24270793) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dr = 196.800189999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45939097--1.45929510) × cos(-1.24267704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322263222032452 × 6371000     		do = 196.834434738212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45939097--1.45929510) × cos(-1.24270793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322233979857054 × 6371000     		du = 196.81657397511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24267704)-sin(-1.24270793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322263222032452-0.322233979857054)×R²
    abs(-1.45929510--1.45939097)×2.92421753982919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92421753982919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92421753982919e-05×40589641000000     		ar = 38735.296657266m²