Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17543 / 51705
↖ ↑ ↗
← S 71.512720°
W 83.633423°		 ← 193.68 m → S 71.512720°
W 83.627930°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 71.514462°
W 83.633423°		 ← 193.66 m →
37 509 m²		 S 71.514462°
W 83.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267692565917969 y=0.788963317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267692565917969 × 216)
    floor (0.267692565917969 × 65536)
    floor (17543.5)     		tx = 17543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788963317871094 × 216)
    floor (0.788963317871094 × 65536)
    floor (51705.5)     		ty = 51705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17543 / 51705 ti = "16/17543/51705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17543/51705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17543 ÷ 216
    17543 ÷ 65536     		x = 0.267684936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51705 ÷ 216
    51705 ÷ 65536     		y = 0.788955688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267684936523438 × 2 - 1) × π
    -0.464630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45967859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788955688476562 × 2 - 1) × π
    -0.577911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81556213621001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45967859} λ = -1.45967859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81556213621001))-π/2
    2×atan(0.162746397028864)-π/2
    2×0.161331953166181-π/2
    0.322663906332363-1.57079632675     		φ = -1.24813242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45967859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.633423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24813242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.512720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17543 KachelY 51705 -1.45967859 -1.24813242 -83.633423 -71.512720
    Oben rechts KachelX + 1 17544 KachelY 51705 -1.45958272 -1.24813242 -83.627930 -71.512720
    Unten links KachelX 17543 KachelY + 1 51706 -1.45967859 -1.24816282 -83.633423 -71.514462
    Unten rechts KachelX + 1 17544 KachelY + 1 51706 -1.45958272 -1.24816282 -83.627930 -71.514462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24813242--1.24816282) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24813242--1.24816282) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45967859--1.45958272) × cos(-1.24813242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31709411616124 × 6371000     		do = 193.67720809024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45967859--1.45958272) × cos(-1.24816282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317065284834841 × 6371000     		du = 193.659598268683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24813242)-sin(-1.24816282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31709411616124-0.317065284834841)×R²
    abs(-1.45958272--1.45967859)×2.88313263984152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88313263984152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88313263984152e-05×40589641000000     		ar = 37509.3864612082m²