Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17541 / 18051
↖ ↑ ↗
← S 18.010080°
E 12.711182°		 ← 1 161.78 m → S 18.010080°
E 12.722168°		 →
↑
1 161.75 m
↓
↑
1 161.75 m
↓
S 18.020528°
E 12.711182°		 ← 1 161.71 m →
1 349 662 m²		 S 18.020528°
E 12.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535324096679688 y=0.550888061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535324096679688 × 215)
    floor (0.535324096679688 × 32768)
    floor (17541.5)     		tx = 17541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550888061523438 × 215)
    floor (0.550888061523438 × 32768)
    floor (18051.5)     		ty = 18051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17541 / 18051 ti = "15/17541/18051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17541/18051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17541 ÷ 215
    17541 ÷ 32768     		x = 0.535308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18051 ÷ 215
    18051 ÷ 32768     		y = 0.550872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535308837890625 × 2 - 1) × π
    0.07061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22185197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.10174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.319643246666534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22185197} λ = 0.22185197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319643246666534))-π/2
    2×atan(0.726408139378317)-π/2
    2×0.628230566598461-π/2
    1.25646113319692-1.57079632675     		φ = -0.31433519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22185197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31433519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.010080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17541 KachelY 18051 0.22185197 -0.31433519 12.711182 -18.010080
    Oben rechts KachelX + 1 17542 KachelY 18051 0.22204372 -0.31433519 12.722168 -18.010080
    Unten links KachelX 17541 KachelY + 1 18052 0.22185197 -0.31451754 12.711182 -18.020528
    Unten rechts KachelX + 1 17542 KachelY + 1 18052 0.22204372 -0.31451754 12.722168 -18.020528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31433519--0.31451754) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dl = 1161.75184999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31433519--0.31451754) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dr = 1161.75184999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22185197-0.22204372) × cos(-0.31433519) × R
    0.000191749999999991 × 0.951002137874277 × 6371000     		do = 1161.78153846107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22185197-0.22204372) × cos(-0.31451754) × R
    0.000191749999999991 × 0.950945742305645 × 6371000     		du = 1161.7126434209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31433519)-sin(-0.31451754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951002137874277-0.950945742305645)×R²
    abs(0.22204372-0.22185197)×5.63955686323503e-05×R²
    0.000191749999999991×5.63955686323503e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.63955686323503e-05×40589641000000     		ar = 1349661.8358725m²