Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17540 / 51523
↖ ↑ ↗
← S 71.193067°
W 83.649902°		 ← 196.91 m → S 71.193067°
W 83.644409°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
S 71.194838°
W 83.649902°		 ← 196.89 m →
38 774 m²		 S 71.194838°
W 83.644409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267646789550781 y=0.786186218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267646789550781 × 216)
    floor (0.267646789550781 × 65536)
    floor (17540.5)     		tx = 17540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786186218261719 × 216)
    floor (0.786186218261719 × 65536)
    floor (51523.5)     		ty = 51523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17540 / 51523 ti = "16/17540/51523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17540/51523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17540 ÷ 216
    17540 ÷ 65536     		x = 0.26763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51523 ÷ 216
    51523 ÷ 65536     		y = 0.786178588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45996621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786178588867188 × 2 - 1) × π
    -0.572357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79811310474831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45996621} λ = -1.45996621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79811310474831))-π/2
    2×atan(0.165611084356957)-π/2
    2×0.164121448881411-π/2
    0.328242897762823-1.57079632675     		φ = -1.24255343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45996621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24255343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.193067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17540 KachelY 51523 -1.45996621 -1.24255343 -83.649902 -71.193067
    Oben rechts KachelX + 1 17541 KachelY 51523 -1.45987034 -1.24255343 -83.644409 -71.193067
    Unten links KachelX 17540 KachelY + 1 51524 -1.45996621 -1.24258434 -83.649902 -71.194838
    Unten rechts KachelX + 1 17541 KachelY + 1 51524 -1.45987034 -1.24258434 -83.644409 -71.194838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24255343--1.24258434) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24255343--1.24258434) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45996621--1.45987034) × cos(-1.24255343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32238023498927 × 6371000     		do = 196.905904821168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45996621--1.45987034) × cos(-1.24258434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322350975112136 × 6371000     		du = 196.888033246063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24255343)-sin(-1.24258434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32238023498927-0.322350975112136)×R²
    abs(-1.45987034--1.45996621)×2.92598771334251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92598771334251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92598771334251e-05×40589641000000     		ar = 38774.4495309758m²