Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17540 / 18050
↖ ↑ ↗
← S 17.999632°
E 12.700195°		 ← 1 161.85 m → S 17.999632°
E 12.711182°		 →
↑
1 161.75 m
↓
↑
1 161.75 m
↓
S 18.010080°
E 12.700195°		 ← 1 161.78 m →
1 349 742 m²		 S 18.010080°
E 12.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535293579101562 y=0.550857543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535293579101562 × 215)
    floor (0.535293579101562 × 32768)
    floor (17540.5)     		tx = 17540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550857543945312 × 215)
    floor (0.550857543945312 × 32768)
    floor (18050.5)     		ty = 18050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17540 / 18050 ti = "15/17540/18050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17540/18050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17540 ÷ 215
    17540 ÷ 32768     		x = 0.5352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18050 ÷ 215
    18050 ÷ 32768     		y = 0.55084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.319451499068054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22166022} λ = 0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319451499068054))-π/2
    2×atan(0.726547439749388)-π/2
    2×0.628321745488652-π/2
    1.2566434909773-1.57079632675     		φ = -0.31415284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31415284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.999632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17540 KachelY 18050 0.22166022 -0.31415284 12.700195 -17.999632
    Oben rechts KachelX + 1 17541 KachelY 18050 0.22185197 -0.31415284 12.711182 -17.999632
    Unten links KachelX 17540 KachelY + 1 18051 0.22166022 -0.31433519 12.700195 -18.010080
    Unten rechts KachelX + 1 17541 KachelY + 1 18051 0.22185197 -0.31433519 12.711182 -18.010080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31415284--0.31433519) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dl = 1161.75184999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31415284--0.31433519) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dr = 1161.75184999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22166022-0.22185197) × cos(-0.31415284) × R
    0.000191750000000018 × 0.951058501820641 × 6371000     		do = 1161.8503948704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22166022-0.22185197) × cos(-0.31433519) × R
    0.000191750000000018 × 0.951002137874277 × 6371000     		du = 1161.78153846124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31415284)-sin(-0.31433519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951058501820641-0.951002137874277)×R²
    abs(0.22185197-0.22166022)×5.63639463635468e-05×R²
    0.000191750000000018×5.63639463635468e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.63639463635468e-05×40589641000000     		ar = 1349741.85237371m²