Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17539 / 51699
↖ ↑ ↗
← S 71.502266°
W 83.655396°		 ← 193.80 m → S 71.502266°
W 83.649902°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 71.504009°
W 83.655396°		 ← 193.79 m →
37 558 m²		 S 71.504009°
W 83.649902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267631530761719 y=0.788871765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267631530761719 × 216)
    floor (0.267631530761719 × 65536)
    floor (17539.5)     		tx = 17539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788871765136719 × 216)
    floor (0.788871765136719 × 65536)
    floor (51699.5)     		ty = 51699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17539 / 51699 ti = "16/17539/51699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17539/51699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17539 ÷ 216
    17539 ÷ 65536     		x = 0.267623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51699 ÷ 216
    51699 ÷ 65536     		y = 0.788864135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.464752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46006209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788864135742188 × 2 - 1) × π
    -0.577728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81498689341457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46006209} λ = -1.46006209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81498689341457))-π/2
    2×atan(0.162840042653142)-π/2
    2×0.161423181101199-π/2
    0.322846362202397-1.57079632675     		φ = -1.24794996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46006209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.655396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24794996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.502266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17539 KachelY 51699 -1.46006209 -1.24794996 -83.655396 -71.502266
    Oben rechts KachelX + 1 17540 KachelY 51699 -1.45996621 -1.24794996 -83.649902 -71.502266
    Unten links KachelX 17539 KachelY + 1 51700 -1.46006209 -1.24798038 -83.655396 -71.504009
    Unten rechts KachelX + 1 17540 KachelY + 1 51700 -1.45996621 -1.24798038 -83.649902 -71.504009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24794996--1.24798038) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dl = 193.805820000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24794996--1.24798038) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dr = 193.805820000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46006209--1.45996621) × cos(-1.24794996) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.317267154864911 × 6371000     		do = 193.803111104942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46006209--1.45996621) × cos(-1.24798038) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.317238306330848 × 6371000     		du = 193.785488935213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24794996)-sin(-1.24798038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317267154864911-0.317238306330848)×R²
    abs(-1.45996621--1.46006209)×2.88485340629863e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.88485340629863e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.88485340629863e-05×40589641000000     		ar = 37558.4632298335m²