Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17536 / 8063
↖ ↑ ↗
← N 82.721312°
W131.835937°		 ← 38.70 m → N 82.721312°
W131.833191°		 →
↑
38.67 m
↓
↑
38.67 m
↓
N 82.720964°
W131.835937°		 ← 38.70 m →
1 496 m²		 N 82.720964°
W131.833191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133792877197266 y=0.0615196228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133792877197266 × 217)
    floor (0.133792877197266 × 131072)
    floor (17536.5)     		tx = 17536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0615196228027344 × 217)
    floor (0.0615196228027344 × 131072)
    floor (8063.5)     		ty = 8063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17536 / 8063 ti = "17/17536/8063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17536/8063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17536 ÷ 217
    17536 ÷ 131072     		x = 0.1337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8063 ÷ 217
    8063 ÷ 131072     		y = 0.0615158081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    -0.732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30097118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615158081054688 × 2 - 1) × π
    0.876968383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.75507743186349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30097118} λ = -2.30097118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75507743186349))-π/2
    2×atan(15.7222582594271)-π/2
    2×1.50727779442736-π/2
    3.01455558885471-1.57079632675     		φ = 1.44375926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30097118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.835937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.721312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17536 KachelY 8063 -2.30097118 1.44375926 -131.835937 82.721312
    Oben rechts KachelX + 1 17537 KachelY 8063 -2.30092324 1.44375926 -131.833191 82.721312
    Unten links KachelX 17536 KachelY + 1 8064 -2.30097118 1.44375319 -131.835937 82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 17537 KachelY + 1 8064 -2.30092324 1.44375319 -131.833191 82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375926-1.44375319) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dl = 38.6719699998035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375926-1.44375319) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dr = 38.6719699998035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30097118--2.30092324) × cos(1.44375926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126695646231647 × 6371000     		do = 38.6961115050535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30097118--2.30092324) × cos(1.44375319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 38.6979504989092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375926)-sin(1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126695646231647-0.126701667315055)×R²
    abs(-2.30092324--2.30097118)×6.02108340863605e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.02108340863605e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.02108340863605e-06×40589641000000     		ar = 1496.49042211127m²