Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1753 / 1390
↖ ↑ ↗
← N 49.951220°
W 25.927734°		 ← 6 288.33 m → N 49.951220°
W 25.839844°		 →
↑
6 292 m
↓
↑
6 292 m
↓
N 49.894634°
W 25.927734°		 ← 6 295.71 m →
39 589 384 m²		 N 49.894634°
W 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4281005859375 y=0.3394775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4281005859375 × 212)
    floor (0.4281005859375 × 4096)
    floor (1753.5)     		tx = 1753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3394775390625 × 212)
    floor (0.3394775390625 × 4096)
    floor (1390.5)     		ty = 1390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1753 / 1390 ti = "12/1753/1390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1753/1390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1753 ÷ 212
    1753 ÷ 4096     		x = 0.427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1390 ÷ 212
    1390 ÷ 4096     		y = 0.33935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33935546875 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0093593583999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45252433} λ = -0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0093593583999))-π/2
    2×atan(2.74384263209619)-π/2
    2×1.22130478978511-π/2
    2.44260957957023-1.57079632675     		φ = 0.87181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.951220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1753 KachelY 1390 -0.45252433 0.87181325 -25.927734 49.951220
    Oben rechts KachelX + 1 1754 KachelY 1390 -0.45099035 0.87181325 -25.839844 49.951220
    Unten links KachelX 1753 KachelY + 1 1391 -0.45252433 0.87082565 -25.927734 49.894634
    Unten rechts KachelX + 1 1754 KachelY + 1 1391 -0.45099035 0.87082565 -25.839844 49.894634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87181325-0.87082565) × R
    0.000987599999999977 × 6371000     		dl = 6291.99959999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87181325-0.87082565) × R
    0.000987599999999977 × 6371000     		dr = 6291.99959999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45252433--0.45099035) × cos(0.87181325) × R
    0.00153397999999999 × 0.643439568499962 × 6371000     		do = 6288.32626799108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45252433--0.45099035) × cos(0.87082565) × R
    0.00153397999999999 × 0.644195259336399 × 6371000     		du = 6295.71162439421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87181325)-sin(0.87082565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643439568499962-0.644195259336399)×R²
    abs(-0.45099035--0.45252433)×0.000755690836437672×R²
    0.00153397999999999×0.000755690836437672×6371000²
    0.00153397999999999×0.000755690836437672×40589641000000     		ar = 39589383.9104394m²