Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17528 / 51480
↖ ↑ ↗
← S 71.116771°
W 83.715820°		 ← 197.68 m → S 71.116771°
W 83.710327°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 71.118548°
W 83.715820°		 ← 197.66 m →
39 065 m²		 S 71.118548°
W 83.710327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267463684082031 y=0.785530090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267463684082031 × 216)
    floor (0.267463684082031 × 65536)
    floor (17528.5)     		tx = 17528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785530090332031 × 216)
    floor (0.785530090332031 × 65536)
    floor (51480.5)     		ty = 51480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17528 / 51480 ti = "16/17528/51480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17528/51480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17528 ÷ 216
    17528 ÷ 65536     		x = 0.2674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51480 ÷ 216
    51480 ÷ 65536     		y = 0.7855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46111670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46111670} λ = -1.46111670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79399053138098))-π/2
    2×atan(0.166295237469395)-π/2
    2×0.164787265091542-π/2
    0.329574530183084-1.57079632675     		φ = -1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46111670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.715820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17528 KachelY 51480 -1.46111670 -1.24122180 -83.715820 -71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 17529 KachelY 51480 -1.46102083 -1.24122180 -83.710327 -71.116771
    Unten links KachelX 17528 KachelY + 1 51481 -1.46111670 -1.24125282 -83.715820 -71.118548
    Unten rechts KachelX + 1 17529 KachelY + 1 51481 -1.46102083 -1.24125282 -83.710327 -71.118548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24122180--1.24125282) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24122180--1.24125282) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46111670--1.46102083) × cos(-1.24122180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 197.675649142861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46111670--1.46102083) × cos(-1.24125282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323611132745284 × 6371000     		du = 197.657722116662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24122180)-sin(-1.24125282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323611132745284)×R²
    abs(-1.46102083--1.46111670)×2.93506633229912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93506633229912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93506633229912e-05×40589641000000     		ar = 39064.5547707395m²