Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17520 / 51517
↖ ↑ ↗
← S 71.182439°
W 83.759766°		 ← 197.01 m → S 71.182439°
W 83.754273°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 71.184211°
W 83.759766°		 ← 197 m →
38 808 m²		 S 71.184211°
W 83.754273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267341613769531 y=0.786094665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267341613769531 × 216)
    floor (0.267341613769531 × 65536)
    floor (17520.5)     		tx = 17520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786094665527344 × 216)
    floor (0.786094665527344 × 65536)
    floor (51517.5)     		ty = 51517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17520 / 51517 ti = "16/17520/51517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17520/51517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17520 ÷ 216
    17520 ÷ 65536     		x = 0.267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51517 ÷ 216
    51517 ÷ 65536     		y = 0.786087036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46188369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786087036132812 × 2 - 1) × π
    -0.572174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79753786195287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46188369} λ = -1.46188369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79753786195287))-π/2
    2×atan(0.165706378346041)-π/2
    2×0.164214197584896-π/2
    0.328428395169792-1.57079632675     		φ = -1.24236793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46188369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.759766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24236793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.182439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17520 KachelY 51517 -1.46188369 -1.24236793 -83.759766 -71.182439
    Oben rechts KachelX + 1 17521 KachelY 51517 -1.46178782 -1.24236793 -83.754273 -71.182439
    Unten links KachelX 17520 KachelY + 1 51518 -1.46188369 -1.24239885 -83.759766 -71.184211
    Unten rechts KachelX + 1 17521 KachelY + 1 51518 -1.46178782 -1.24239885 -83.754273 -71.184211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24236793--1.24239885) × R
    3.09200000001564e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24236793--1.24239885) × R
    3.09200000001564e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46188369--1.46178782) × cos(-1.24236793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322555825644876 × 6371000     		do = 197.013153446138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46188369--1.46178782) × cos(-1.24239885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322526558151023 × 6371000     		du = 196.995277218835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24236793)-sin(-1.24239885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322555825644876-0.322526558151023)×R²
    abs(-1.46178782--1.46188369)×2.92674938527915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92674938527915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92674938527915e-05×40589641000000     		ar = 38808.1204268407m²