Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17518 / 51512
↖ ↑ ↗
← S 71.173578°
W 83.770752°		 ← 197.12 m → S 71.173578°
W 83.765259°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 71.175350°
W 83.770752°		 ← 197.11 m →
38 855 m²		 S 71.175350°
W 83.765259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267311096191406 y=0.786018371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267311096191406 × 216)
    floor (0.267311096191406 × 65536)
    floor (17518.5)     		tx = 17518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786018371582031 × 216)
    floor (0.786018371582031 × 65536)
    floor (51512.5)     		ty = 51512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17518 / 51512 ti = "16/17518/51512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17518/51512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17518 ÷ 216
    17518 ÷ 65536     		x = 0.267303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51512 ÷ 216
    51512 ÷ 65536     		y = 0.7860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.46539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46207544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79705849295667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46207544} λ = -1.46207544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79705849295667))-π/2
    2×atan(0.165785831888554)-π/2
    2×0.164291526758009-π/2
    0.328583053516019-1.57079632675     		φ = -1.24221327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46207544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.770752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24221327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.173578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17518 KachelY 51512 -1.46207544 -1.24221327 -83.770752 -71.173578
    Oben rechts KachelX + 1 17519 KachelY 51512 -1.46197956 -1.24221327 -83.765259 -71.173578
    Unten links KachelX 17518 KachelY + 1 51513 -1.46207544 -1.24224421 -83.770752 -71.175350
    Unten rechts KachelX + 1 17519 KachelY + 1 51513 -1.46197956 -1.24224421 -83.765259 -71.175350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24221327--1.24224421) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24221327--1.24224421) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46207544--1.46197956) × cos(-1.24221327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322702215277938 × 6371000     		do = 197.123125801678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46207544--1.46197956) × cos(-1.24224421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322672930396645 × 6371000     		du = 197.105237088598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24221327)-sin(-1.24224421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322702215277938-0.322672930396645)×R²
    abs(-1.46197956--1.46207544)×2.92848812930568e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92848812930568e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92848812930568e-05×40589641000000     		ar = 38854.8990861111m²