Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17516 / 51436
↖ ↑ ↗
← S 71.038391°
W 83.781739°		 ← 198.49 m → S 71.038391°
W 83.776245°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
S 71.040175°
W 83.781739°		 ← 198.47 m →
39 389 m²		 S 71.040175°
W 83.776245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267280578613281 y=0.784858703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267280578613281 × 216)
    floor (0.267280578613281 × 65536)
    floor (17516.5)     		tx = 17516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784858703613281 × 216)
    floor (0.784858703613281 × 65536)
    floor (51436.5)     		ty = 51436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17516 / 51436 ti = "16/17516/51436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17516/51436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17516 ÷ 216
    17516 ÷ 65536     		x = 0.26727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51436 ÷ 216
    51436 ÷ 65536     		y = 0.78485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46226719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.5697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78977208421442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46226719} λ = -1.46226719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78977208421442))-π/2
    2×atan(0.166998226862025)-π/2
    2×0.165471259168336-π/2
    0.330942518336672-1.57079632675     		φ = -1.23985381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46226719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.781739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23985381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.038391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17516 KachelY 51436 -1.46226719 -1.23985381 -83.781739 -71.038391
    Oben rechts KachelX + 1 17517 KachelY 51436 -1.46217131 -1.23985381 -83.776245 -71.038391
    Unten links KachelX 17516 KachelY + 1 51437 -1.46226719 -1.23988496 -83.781739 -71.040175
    Unten rechts KachelX + 1 17517 KachelY + 1 51437 -1.46217131 -1.23988496 -83.776245 -71.040175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23985381--1.23988496) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23985381--1.23988496) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46226719--1.46217131) × cos(-1.23985381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324934545130469 × 6371000     		do = 198.486747795943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46226719--1.46217131) × cos(-1.23988496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324905085280623 × 6371000     		du = 198.468752203065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23985381)-sin(-1.23988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324934545130469-0.324905085280623)×R²
    abs(-1.46217131--1.46226719)×2.94598498454812e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94598498454812e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94598498454812e-05×40589641000000     		ar = 39389.2293674313m²