Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17513 / 51529
↖ ↑ ↗
← S 71.203690°
W 83.798218°		 ← 196.82 m → S 71.203690°
W 83.792724°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 71.205460°
W 83.798218°		 ← 196.80 m →
38 732 m²		 S 71.205460°
W 83.792724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267234802246094 y=0.786277770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267234802246094 × 216)
    floor (0.267234802246094 × 65536)
    floor (17513.5)     		tx = 17513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786277770996094 × 216)
    floor (0.786277770996094 × 65536)
    floor (51529.5)     		ty = 51529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17513 / 51529 ti = "16/17513/51529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17513/51529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17513 ÷ 216
    17513 ÷ 65536     		x = 0.267227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51529 ÷ 216
    51529 ÷ 65536     		y = 0.786270141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267227172851562 × 2 - 1) × π
    -0.465545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46255481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786270141601562 × 2 - 1) × π
    -0.572540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79868834754375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46255481} λ = -1.46255481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79868834754375))-π/2
    2×atan(0.16551584516929)-π/2
    2×0.164028750668697-π/2
    0.328057501337395-1.57079632675     		φ = -1.24273883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46255481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.798218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24273883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.203690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17513 KachelY 51529 -1.46255481 -1.24273883 -83.798218 -71.203690
    Oben rechts KachelX + 1 17514 KachelY 51529 -1.46245893 -1.24273883 -83.792724 -71.203690
    Unten links KachelX 17513 KachelY + 1 51530 -1.46255481 -1.24276972 -83.798218 -71.205460
    Unten rechts KachelX + 1 17514 KachelY + 1 51530 -1.46245893 -1.24276972 -83.792724 -71.205460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24273883--1.24276972) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24273883--1.24276972) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46255481--1.46245893) × cos(-1.24273883) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.322204727907482 × 6371000     		do = 196.819234905609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46255481--1.46245893) × cos(-1.24276972) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.322175485117066 × 6371000     		du = 196.801371903804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24273883)-sin(-1.24276972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322204727907482-0.322175485117066)×R²
    abs(-1.46245893--1.46255481)×2.92427904163839e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.92427904163839e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.92427904163839e-05×40589641000000     		ar = 38732.3051072308m²