Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17511 / 23963
↖ ↑ ↗
← S 63.680377°
E 12.381592°		 ← 541.65 m → S 63.680377°
E 12.392578°		 →
↑
541.60 m
↓
↑
541.60 m
↓
S 63.685248°
E 12.381592°		 ← 541.56 m →
293 331 m²		 S 63.685248°
E 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534408569335938 y=0.731307983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534408569335938 × 215)
    floor (0.534408569335938 × 32768)
    floor (17511.5)     		tx = 17511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731307983398438 × 215)
    floor (0.731307983398438 × 32768)
    floor (23963.5)     		ty = 23963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17511 / 23963 ti = "15/17511/23963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17511/23963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17511 ÷ 215
    17511 ÷ 32768     		x = 0.534393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23963 ÷ 215
    23963 ÷ 32768     		y = 0.731292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534393310546875 × 2 - 1) × π
    0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.46258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45325504888162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21609954} λ = 0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45325504888162))-π/2
    2×atan(0.233807991669005)-π/2
    2×0.229682036130305-π/2
    0.459364072260609-1.57079632675     		φ = -1.11143225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11143225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.680377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17511 KachelY 23963 0.21609954 -1.11143225 12.381592 -63.680377
    Oben rechts KachelX + 1 17512 KachelY 23963 0.21629129 -1.11143225 12.392578 -63.680377
    Unten links KachelX 17511 KachelY + 1 23964 0.21609954 -1.11151726 12.381592 -63.685248
    Unten rechts KachelX + 1 17512 KachelY + 1 23964 0.21629129 -1.11151726 12.392578 -63.685248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11143225--1.11151726) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dl = 541.598710000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11143225--1.11151726) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dr = 541.598710000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21609954-0.21629129) × cos(-1.11143225) × R
    0.000191749999999991 × 0.443378196661826 × 6371000     		do = 541.648207636279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21609954-0.21629129) × cos(-1.11151726) × R
    0.000191749999999991 × 0.443301997652667 × 6371000     		du = 541.555119935879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11143225)-sin(-1.11151726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443378196661826-0.443301997652667)×R²
    abs(0.21629129-0.21609954)×7.61990091596165e-05×R²
    0.000191749999999991×7.61990091596165e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.61990091596165e-05×40589641000000     		ar = 293330.76261718m²