Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17510 / 15326
↖ ↑ ↗
← N 79.703888°
W131.907349°		 ← 54.59 m → N 79.703888°
W131.904602°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
N 79.703397°
W131.907349°		 ← 54.59 m →
2 981 m²		 N 79.703397°
W131.904602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133594512939453 y=0.116931915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133594512939453 × 217)
    floor (0.133594512939453 × 131072)
    floor (17510.5)     		tx = 17510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116931915283203 × 217)
    floor (0.116931915283203 × 131072)
    floor (15326.5)     		ty = 15326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17510 / 15326 ti = "17/17510/15326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17510/15326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17510 ÷ 217
    17510 ÷ 131072     		x = 0.133590698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15326 ÷ 217
    15326 ÷ 131072     		y = 0.116928100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133590698242188 × 2 - 1) × π
    -0.732818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30221754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116928100585938 × 2 - 1) × π
    0.766143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40691172992302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30221754} λ = -2.30221754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40691172992302))-π/2
    2×atan(11.0996295059958)-π/2
    2×1.48094580419816-π/2
    2.96189160839631-1.57079632675     		φ = 1.39109528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30221754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.907349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39109528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.703888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17510 KachelY 15326 -2.30221754 1.39109528 -131.907349 79.703888
    Oben rechts KachelX + 1 17511 KachelY 15326 -2.30216960 1.39109528 -131.904602 79.703888
    Unten links KachelX 17510 KachelY + 1 15327 -2.30221754 1.39108671 -131.907349 79.703397
    Unten rechts KachelX + 1 17511 KachelY + 1 15327 -2.30216960 1.39108671 -131.904602 79.703397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39109528-1.39108671) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39109528-1.39108671) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30221754--2.30216960) × cos(1.39109528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178735442204719 × 6371000     		do = 54.5904046995677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30221754--2.30216960) × cos(1.39108671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178743874196905 × 6371000     		du = 54.5929800470207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39109528)-sin(1.39108671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178735442204719-0.178743874196905)×R²
    abs(-2.30216960--2.30221754)×8.43199218575341e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43199218575341e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43199218575341e-06×40589641000000     		ar = 2980.67747013368m²