Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17507 / 23964
↖ ↑ ↗
← S 63.685248°
E 12.337646°		 ← 541.56 m → S 63.685248°
E 12.348633°		 →
↑
541.53 m
↓
↑
541.53 m
↓
S 63.690118°
E 12.337646°		 ← 541.46 m →
293 246 m²		 S 63.690118°
E 12.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534286499023438 y=0.731338500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534286499023438 × 215)
    floor (0.534286499023438 × 32768)
    floor (17507.5)     		tx = 17507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731338500976562 × 215)
    floor (0.731338500976562 × 32768)
    floor (23964.5)     		ty = 23964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17507 / 23964 ti = "15/17507/23964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17507/23964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17507 ÷ 215
    17507 ÷ 32768     		x = 0.534271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23964 ÷ 215
    23964 ÷ 32768     		y = 0.7313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534271240234375 × 2 - 1) × π
    0.06854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21533255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21533255} λ = 0.21533255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4534467964801))-π/2
    2×atan(0.233763163846048)-π/2
    2×0.229639531431277-π/2
    0.459279062862555-1.57079632675     		φ = -1.11151726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21533255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.337646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11151726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.685248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17507 KachelY 23964 0.21533255 -1.11151726 12.337646 -63.685248
    Oben rechts KachelX + 1 17508 KachelY 23964 0.21552430 -1.11151726 12.348633 -63.685248
    Unten links KachelX 17507 KachelY + 1 23965 0.21533255 -1.11160226 12.337646 -63.690118
    Unten rechts KachelX + 1 17508 KachelY + 1 23965 0.21552430 -1.11160226 12.348633 -63.690118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11151726--1.11160226) × R
    8.49999999998907e-05 × 6371000     		dl = 541.534999999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11151726--1.11160226) × R
    8.49999999998907e-05 × 6371000     		dr = 541.534999999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21533255-0.21552430) × cos(-1.11151726) × R
    0.000191749999999991 × 0.443301997652667 × 6371000     		do = 541.555119935879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21533255-0.21552430) × cos(-1.11160226) × R
    0.000191749999999991 × 0.443225804403997 × 6371000     		du = 541.462039272718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11151726)-sin(-1.11160226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443301997652667-0.443225804403997)×R²
    abs(0.21552430-0.21533255)×7.61932486700867e-05×R²
    0.000191749999999991×7.61932486700867e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.61932486700867e-05×40589641000000     		ar = 293245.848832585m²