Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17506 / 51678
↖ ↑ ↗
← S 71.465632°
W 83.836670°		 ← 194.15 m → S 71.465632°
W 83.831177°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 71.467378°
W 83.836670°		 ← 194.14 m →
37 701 m²		 S 71.467378°
W 83.831177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267127990722656 y=0.788551330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267127990722656 × 216)
    floor (0.267127990722656 × 65536)
    floor (17506.5)     		tx = 17506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788551330566406 × 216)
    floor (0.788551330566406 × 65536)
    floor (51678.5)     		ty = 51678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17506 / 51678 ti = "16/17506/51678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17506/51678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17506 ÷ 216
    17506 ÷ 65536     		x = 0.267120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51678 ÷ 216
    51678 ÷ 65536     		y = 0.788543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.46575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46322592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.57708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81297354363052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46322592} λ = -1.46322592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81297354363052))-π/2
    2×atan(0.163168226881814)-π/2
    2×0.161742871054015-π/2
    0.323485742108031-1.57079632675     		φ = -1.24731058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46322592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.836670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24731058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.465632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17506 KachelY 51678 -1.46322592 -1.24731058 -83.836670 -71.465632
    Oben rechts KachelX + 1 17507 KachelY 51678 -1.46313005 -1.24731058 -83.831177 -71.465632
    Unten links KachelX 17506 KachelY + 1 51679 -1.46322592 -1.24734106 -83.836670 -71.467378
    Unten rechts KachelX + 1 17507 KachelY + 1 51679 -1.46313005 -1.24734106 -83.831177 -71.467378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24731058--1.24734106) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24731058--1.24734106) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46322592--1.46313005) × cos(-1.24731058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317873437174094 × 6371000     		do = 194.153207833795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46322592--1.46313005) × cos(-1.24734106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317844537927904 × 6371000     		du = 194.13555652766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24731058)-sin(-1.24734106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317873437174094-0.317844537927904)×R²
    abs(-1.46313005--1.46322592)×2.88992461900395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88992461900395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88992461900395e-05×40589641000000     		ar = 37700.5248212104m²