Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17503 / 51487
↖ ↑ ↗
← S 71.129211°
W 83.853150°		 ← 197.57 m → S 71.129211°
W 83.847656°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 71.130988°
W 83.853150°		 ← 197.55 m →
39 031 m²		 S 71.130988°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267082214355469 y=0.785636901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267082214355469 × 216)
    floor (0.267082214355469 × 65536)
    floor (17503.5)     		tx = 17503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785636901855469 × 216)
    floor (0.785636901855469 × 65536)
    floor (51487.5)     		ty = 51487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17503 / 51487 ti = "16/17503/51487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17503/51487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17503 ÷ 216
    17503 ÷ 65536     		x = 0.267074584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51487 ÷ 216
    51487 ÷ 65536     		y = 0.785629272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267074584960938 × 2 - 1) × π
    -0.465850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46351355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785629272460938 × 2 - 1) × π
    -0.571258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79466164797566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46351355} λ = -1.46351355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79466164797566))-π/2
    2×atan(0.166183671417014)-π/2
    2×0.164678699314886-π/2
    0.329357398629772-1.57079632675     		φ = -1.24143893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46351355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.853150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24143893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.129211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17503 KachelY 51487 -1.46351355 -1.24143893 -83.853150 -71.129211
    Oben rechts KachelX + 1 17504 KachelY 51487 -1.46341767 -1.24143893 -83.847656 -71.129211
    Unten links KachelX 17503 KachelY + 1 51488 -1.46351355 -1.24146994 -83.853150 -71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 17504 KachelY + 1 51488 -1.46341767 -1.24146994 -83.847656 -71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24143893--1.24146994) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24143893--1.24146994) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46351355--1.46341767) × cos(-1.24143893) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.323435031689613 × 6371000     		do = 197.570767791775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46351355--1.46341767) × cos(-1.24146994) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 197.552843344816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24143893)-sin(-1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323435031689613-0.323405688309846)×R²
    abs(-1.46341767--1.46351355)×2.93433797674547e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.93433797674547e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.93433797674547e-05×40589641000000     		ar = 39031.2408273991m²