Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17502 / 51500
↖ ↑ ↗
← S 71.152295°
W 83.858643°		 ← 197.32 m → S 71.152295°
W 83.853150°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
S 71.154069°
W 83.858643°		 ← 197.30 m →
38 931 m²		 S 71.154069°
W 83.853150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267066955566406 y=0.785835266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267066955566406 × 216)
    floor (0.267066955566406 × 65536)
    floor (17502.5)     		tx = 17502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785835266113281 × 216)
    floor (0.785835266113281 × 65536)
    floor (51500.5)     		ty = 51500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17502 / 51500 ti = "16/17502/51500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17502/51500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17502 ÷ 216
    17502 ÷ 65536     		x = 0.267059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51500 ÷ 216
    51500 ÷ 65536     		y = 0.78582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.5716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79590800736578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46360942} λ = -1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79590800736578))-π/2
    2×atan(0.165976675859883)-π/2
    2×0.164477259983741-π/2
    0.328954519967483-1.57079632675     		φ = -1.24184181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24184181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.152295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17502 KachelY 51500 -1.46360942 -1.24184181 -83.858643 -71.152295
    Oben rechts KachelX + 1 17503 KachelY 51500 -1.46351355 -1.24184181 -83.853150 -71.152295
    Unten links KachelX 17502 KachelY + 1 51501 -1.46360942 -1.24187278 -83.858643 -71.154069
    Unten rechts KachelX + 1 17503 KachelY + 1 51501 -1.46351355 -1.24187278 -83.853150 -71.154069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24184181--1.24187278) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dl = 197.309870000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24184181--1.24187278) × R
    3.09700000000745e-05 × 6371000     		dr = 197.309870000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46360942--1.46351355) × cos(-1.24184181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		do = 197.317297936358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46360942--1.46351355) × cos(-1.24187278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323024470536032 × 6371000     		du = 197.299396014129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24184181)-sin(-1.24187278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323053780098383-0.323024470536032)×R²
    abs(-1.46351355--1.46360942)×2.93095623516426e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93095623516426e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93095623516426e-05×40589641000000     		ar = 38930.8842946135m²