Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17502 / 51479
↖ ↑ ↗
← S 71.114993°
W 83.858643°		 ← 197.69 m → S 71.114993°
W 83.853150°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
S 71.116771°
W 83.858643°		 ← 197.68 m →
39 081 m²		 S 71.116771°
W 83.853150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267066955566406 y=0.785514831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267066955566406 × 216)
    floor (0.267066955566406 × 65536)
    floor (17502.5)     		tx = 17502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785514831542969 × 216)
    floor (0.785514831542969 × 65536)
    floor (51479.5)     		ty = 51479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17502 / 51479 ti = "16/17502/51479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17502/51479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17502 ÷ 216
    17502 ÷ 65536     		x = 0.267059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51479 ÷ 216
    51479 ÷ 65536     		y = 0.785507202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.571014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79389465758174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46360942} λ = -1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79389465758174))-π/2
    2×atan(0.166311181589906)-π/2
    2×0.164802780116763-π/2
    0.329605560233525-1.57079632675     		φ = -1.24119077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24119077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.114993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17502 KachelY 51479 -1.46360942 -1.24119077 -83.858643 -71.114993
    Oben rechts KachelX + 1 17503 KachelY 51479 -1.46351355 -1.24119077 -83.853150 -71.114993
    Unten links KachelX 17502 KachelY + 1 51480 -1.46360942 -1.24122180 -83.858643 -71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 17503 KachelY + 1 51480 -1.46351355 -1.24122180 -83.853150 -71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24119077--1.24122180) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24119077--1.24122180) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46360942--1.46351355) × cos(-1.24119077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323669843222211 × 6371000     		do = 197.69358175794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46360942--1.46351355) × cos(-1.24122180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 197.675649142861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24119077)-sin(-1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323669843222211-0.323640483408607)×R²
    abs(-1.46351355--1.46360942)×2.93598136038575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93598136038575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93598136038575e-05×40589641000000     		ar = 39080.6926998993m²