Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17501 / 51499
↖ ↑ ↗
← S 71.150520°
W 83.864136°		 ← 197.34 m → S 71.150520°
W 83.858643°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 71.152295°
W 83.864136°		 ← 197.32 m →
38 947 m²		 S 71.152295°
W 83.858643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267051696777344 y=0.785820007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267051696777344 × 216)
    floor (0.267051696777344 × 65536)
    floor (17501.5)     		tx = 17501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785820007324219 × 216)
    floor (0.785820007324219 × 65536)
    floor (51499.5)     		ty = 51499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17501 / 51499 ti = "16/17501/51499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17501/51499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17501 ÷ 216
    17501 ÷ 65536     		x = 0.267044067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51499 ÷ 216
    51499 ÷ 65536     		y = 0.785812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267044067382812 × 2 - 1) × π
    -0.465911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46370529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785812377929688 × 2 - 1) × π
    -0.571624755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79581213356654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46370529} λ = -1.46370529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79581213356654))-π/2
    2×atan(0.165992589437218)-π/2
    2×0.164492746883088-π/2
    0.328985493766176-1.57079632675     		φ = -1.24181083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46370529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.864136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24181083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.150520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17501 KachelY 51499 -1.46370529 -1.24181083 -83.864136 -71.150520
    Oben rechts KachelX + 1 17502 KachelY 51499 -1.46360942 -1.24181083 -83.858643 -71.150520
    Unten links KachelX 17501 KachelY + 1 51500 -1.46370529 -1.24184181 -83.864136 -71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 17502 KachelY + 1 51500 -1.46360942 -1.24184181 -83.858643 -71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24181083--1.24184181) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24181083--1.24184181) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46370529--1.46360942) × cos(-1.24181083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323083098814587 × 6371000     		do = 197.335205449647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46370529--1.46360942) × cos(-1.24184181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 197.317297936358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24181083)-sin(-1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323083098814587-0.323053780098383)×R²
    abs(-1.46360942--1.46370529)×2.93187162034858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93187162034858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93187162034858e-05×40589641000000     		ar = 38946.9887280659m²