Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17495 / 51673
↖ ↑ ↗
← S 71.456900°
W 83.897095°		 ← 194.26 m → S 71.456900°
W 83.891601°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 71.458646°
W 83.897095°		 ← 194.24 m →
37 734 m²		 S 71.458646°
W 83.891601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266960144042969 y=0.788475036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266960144042969 × 216)
    floor (0.266960144042969 × 65536)
    floor (17495.5)     		tx = 17495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788475036621094 × 216)
    floor (0.788475036621094 × 65536)
    floor (51673.5)     		ty = 51673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17495 / 51673 ti = "16/17495/51673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17495/51673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17495 ÷ 216
    17495 ÷ 65536     		x = 0.266952514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51673 ÷ 216
    51673 ÷ 65536     		y = 0.788467407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266952514648438 × 2 - 1) × π
    -0.466094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46428054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788467407226562 × 2 - 1) × π
    -0.576934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81249417463432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46428054} λ = -1.46428054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81249417463432))-π/2
    2×atan(0.163246463421533)-π/2
    2×0.161819077704768-π/2
    0.323638155409537-1.57079632675     		φ = -1.24715817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46428054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.897095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24715817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.456900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17495 KachelY 51673 -1.46428054 -1.24715817 -83.897095 -71.456900
    Oben rechts KachelX + 1 17496 KachelY 51673 -1.46418466 -1.24715817 -83.891601 -71.456900
    Unten links KachelX 17495 KachelY + 1 51674 -1.46428054 -1.24718866 -83.897095 -71.458646
    Unten rechts KachelX + 1 17496 KachelY + 1 51674 -1.46418466 -1.24718866 -83.891601 -71.458646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24715817--1.24718866) × R
    3.04899999998831e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24715817--1.24718866) × R
    3.04899999998831e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46428054--1.46418466) × cos(-1.24715817) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318017938455643 × 6371000     		do = 194.261728372501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46428054--1.46418466) × cos(-1.24718866) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.317989031205445 × 6371000     		du = 194.244070335935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24715817)-sin(-1.24718866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318017938455643-0.317989031205445)×R²
    abs(-1.46418466--1.46428054)×2.89072501980514e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.89072501980514e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.89072501980514e-05×40589641000000     		ar = 37733.9734151022m²