Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17495 / 51672
↖ ↑ ↗
← S 71.455153°
W 83.897095°		 ← 194.28 m → S 71.455153°
W 83.891601°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 71.456900°
W 83.897095°		 ← 194.26 m →
37 737 m²		 S 71.456900°
W 83.891601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266960144042969 y=0.788459777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266960144042969 × 216)
    floor (0.266960144042969 × 65536)
    floor (17495.5)     		tx = 17495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788459777832031 × 216)
    floor (0.788459777832031 × 65536)
    floor (51672.5)     		ty = 51672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17495 / 51672 ti = "16/17495/51672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17495/51672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17495 ÷ 216
    17495 ÷ 65536     		x = 0.266952514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51672 ÷ 216
    51672 ÷ 65536     		y = 0.7884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266952514648438 × 2 - 1) × π
    -0.466094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46428054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81239830083508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46428054} λ = -1.46428054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81239830083508))-π/2
    2×atan(0.163262115230481)-π/2
    2×0.161834323191566-π/2
    0.323668646383132-1.57079632675     		φ = -1.24712768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46428054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.897095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24712768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.455153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17495 KachelY 51672 -1.46428054 -1.24712768 -83.897095 -71.455153
    Oben rechts KachelX + 1 17496 KachelY 51672 -1.46418466 -1.24712768 -83.891601 -71.455153
    Unten links KachelX 17495 KachelY + 1 51673 -1.46428054 -1.24715817 -83.897095 -71.456900
    Unten rechts KachelX + 1 17496 KachelY + 1 51673 -1.46418466 -1.24715817 -83.891601 -71.456900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24712768--1.24715817) × R
    3.04900000001052e-05 × 6371000     		dl = 194.25179000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24712768--1.24715817) × R
    3.04900000001052e-05 × 6371000     		dr = 194.25179000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46428054--1.46418466) × cos(-1.24712768) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318046845410199 × 6371000     		do = 194.279386228474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46428054--1.46418466) × cos(-1.24715817) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318017938455643 × 6371000     		du = 194.261728372501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24712768)-sin(-1.24715817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318046845410199-0.318017938455643)×R²
    abs(-1.46418466--1.46428054)×2.89069545560405e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.89069545560405e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.89069545560405e-05×40589641000000     		ar = 37737.4035031077m²