Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17494 / 51634
↖ ↑ ↗
← S 71.388649°
W 83.902588°		 ← 194.93 m → S 71.388649°
W 83.897095°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
S 71.390401°
W 83.902588°		 ← 194.91 m →
37 988 m²		 S 71.390401°
W 83.897095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266944885253906 y=0.787879943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266944885253906 × 216)
    floor (0.266944885253906 × 65536)
    floor (17494.5)     		tx = 17494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787879943847656 × 216)
    floor (0.787879943847656 × 65536)
    floor (51634.5)     		ty = 51634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17494 / 51634 ti = "16/17494/51634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17494/51634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17494 ÷ 216
    17494 ÷ 65536     		x = 0.266937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51634 ÷ 216
    51634 ÷ 65536     		y = 0.787872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.46612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46437641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.57574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80875509646396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46437641} λ = -1.46437641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80875509646396))-π/2
    2×atan(0.163857997283286)-π/2
    2×0.162414679597104-π/2
    0.324829359194208-1.57079632675     		φ = -1.24596697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46437641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.902588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24596697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.388649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17494 KachelY 51634 -1.46437641 -1.24596697 -83.902588 -71.388649
    Oben rechts KachelX + 1 17495 KachelY 51634 -1.46428054 -1.24596697 -83.897095 -71.388649
    Unten links KachelX 17494 KachelY + 1 51635 -1.46437641 -1.24599756 -83.902588 -71.390401
    Unten rechts KachelX + 1 17495 KachelY + 1 51635 -1.46428054 -1.24599756 -83.897095 -71.390401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24596697--1.24599756) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24596697--1.24599756) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46437641--1.46428054) × cos(-1.24596697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319147071051519 × 6371000     		do = 194.931127829585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46437641--1.46428054) × cos(-1.24599756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31911808060012 × 6371000     		du = 194.913420816423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24596697)-sin(-1.24599756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319147071051519-0.31911808060012)×R²
    abs(-1.46428054--1.46437641)×2.89904513990913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89904513990913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89904513990913e-05×40589641000000     		ar = 37988.1856822177m²