Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17493 / 51453
↖ ↑ ↗
← S 71.068711°
W 83.908081°		 ← 198.16 m → S 71.068711°
W 83.902588°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 71.070493°
W 83.908081°		 ← 198.14 m →
39 261 m²		 S 71.070493°
W 83.902588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266929626464844 y=0.785118103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266929626464844 × 216)
    floor (0.266929626464844 × 65536)
    floor (17493.5)     		tx = 17493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785118103027344 × 216)
    floor (0.785118103027344 × 65536)
    floor (51453.5)     		ty = 51453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17493 / 51453 ti = "16/17493/51453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17493/51453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17493 ÷ 216
    17493 ÷ 65536     		x = 0.266921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51453 ÷ 216
    51453 ÷ 65536     		y = 0.785110473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266921997070312 × 2 - 1) × π
    -0.466156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46447228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785110473632812 × 2 - 1) × π
    -0.570220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7914019388015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46447228} λ = -1.46447228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7914019388015))-π/2
    2×atan(0.166726265724696)-π/2
    2×0.165206665126805-π/2
    0.330413330253609-1.57079632675     		φ = -1.24038300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46447228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.908081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24038300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.068711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17493 KachelY 51453 -1.46447228 -1.24038300 -83.908081 -71.068711
    Oben rechts KachelX + 1 17494 KachelY 51453 -1.46437641 -1.24038300 -83.902588 -71.068711
    Unten links KachelX 17493 KachelY + 1 51454 -1.46447228 -1.24041410 -83.908081 -71.070493
    Unten rechts KachelX + 1 17494 KachelY + 1 51454 -1.46437641 -1.24041410 -83.902588 -71.070493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24038300--1.24041410) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24038300--1.24041410) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46447228--1.46437641) × cos(-1.24038300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		do = 198.16033485798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46447228--1.46437641) × cos(-1.24041410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324404607447958 × 6371000     		du = 198.142366760859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24038300)-sin(-1.24041410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324434025353822-0.324404607447958)×R²
    abs(-1.46437641--1.46447228)×2.94179058645816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94179058645816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94179058645816e-05×40589641000000     		ar = 39261.3321649695m²