Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17491 / 51455
↖ ↑ ↗
← S 71.072275°
W 83.919067°		 ← 198.12 m → S 71.072275°
W 83.913574°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 71.074057°
W 83.919067°		 ← 198.11 m →
39 254 m²		 S 71.074057°
W 83.913574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266899108886719 y=0.785148620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266899108886719 × 216)
    floor (0.266899108886719 × 65536)
    floor (17491.5)     		tx = 17491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785148620605469 × 216)
    floor (0.785148620605469 × 65536)
    floor (51455.5)     		ty = 51455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17491 / 51455 ti = "16/17491/51455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17491/51455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17491 ÷ 216
    17491 ÷ 65536     		x = 0.266891479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51455 ÷ 216
    51455 ÷ 65536     		y = 0.785140991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266891479492188 × 2 - 1) × π
    -0.466217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46466403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785140991210938 × 2 - 1) × π
    -0.570281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79159368639998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46466403} λ = -1.46466403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79159368639998))-π/2
    2×atan(0.166694299428468)-π/2
    2×0.165175563224547-π/2
    0.330351126449094-1.57079632675     		φ = -1.24044520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46466403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.919067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24044520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.072275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17491 KachelY 51455 -1.46466403 -1.24044520 -83.919067 -71.072275
    Oben rechts KachelX + 1 17492 KachelY 51455 -1.46456816 -1.24044520 -83.913574 -71.072275
    Unten links KachelX 17491 KachelY + 1 51456 -1.46466403 -1.24047630 -83.919067 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 17492 KachelY + 1 51456 -1.46456816 -1.24047630 -83.913574 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24044520--1.24047630) × R
    3.11000000001727e-05 × 6371000     		dl = 198.1381000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24044520--1.24047630) × R
    3.11000000001727e-05 × 6371000     		dr = 198.1381000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46466403--1.46456816) × cos(-1.24044520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324375189228326 × 6371000     		do = 198.124398472093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46466403--1.46456816) × cos(-1.24047630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 198.106429991698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24044520)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324375189228326-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.46456816--1.46466403)×2.94185333710728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94185333710728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94185333710728e-05×40589641000000     		ar = 39254.211760054m²