Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17485 / 12530
↖ ↑ ↗
← N 80.989712°
W131.976013°		 ← 47.82 m → N 80.989712°
W131.973267°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.989282°
W131.976013°		 ← 47.83 m →
2 288 m²		 N 80.989282°
W131.973267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133403778076172 y=0.0956001281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133403778076172 × 217)
    floor (0.133403778076172 × 131072)
    floor (17485.5)     		tx = 17485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956001281738281 × 217)
    floor (0.0956001281738281 × 131072)
    floor (12530.5)     		ty = 12530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17485 / 12530 ti = "17/17485/12530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17485/12530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17485 ÷ 217
    17485 ÷ 131072     		x = 0.133399963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12530 ÷ 217
    12530 ÷ 131072     		y = 0.0955963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133399963378906 × 2 - 1) × π
    -0.733200073242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.30341596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955963134765625 × 2 - 1) × π
    0.808807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5409433012607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30341596} λ = -2.30341596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5409433012607))-π/2
    2×atan(12.6916373635152)-π/2
    2×1.49216673389692-π/2
    2.98433346779384-1.57079632675     		φ = 1.41353714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30341596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.976013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41353714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.989712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17485 KachelY 12530 -2.30341596 1.41353714 -131.976013 80.989712
    Oben rechts KachelX + 1 17486 KachelY 12530 -2.30336803 1.41353714 -131.973267 80.989712
    Unten links KachelX 17485 KachelY + 1 12531 -2.30341596 1.41352963 -131.976013 80.989282
    Unten rechts KachelX + 1 17486 KachelY + 1 12531 -2.30336803 1.41352963 -131.973267 80.989282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41353714-1.41352963) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41353714-1.41352963) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30341596--2.30336803) × cos(1.41353714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156611806023873 × 6371000     		do = 47.8232990094452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30341596--2.30336803) × cos(1.41352963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15661922334783 × 6371000     		du = 47.8255639785461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41353714)-sin(1.41352963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156611806023873-0.15661922334783)×R²
    abs(-2.30336803--2.30341596)×7.41732395759254e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.41732395759254e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.41732395759254e-06×40589641000000     		ar = 2288.21779235644m²