Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17483 / 51585
↖ ↑ ↗
← S 71.302554°
W 83.963013°		 ← 195.80 m → S 71.302554°
W 83.957520°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 71.304315°
W 83.963013°		 ← 195.78 m →
38 332 m²		 S 71.304315°
W 83.957520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266777038574219 y=0.787132263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266777038574219 × 216)
    floor (0.266777038574219 × 65536)
    floor (17483.5)     		tx = 17483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787132263183594 × 216)
    floor (0.787132263183594 × 65536)
    floor (51585.5)     		ty = 51585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17483 / 51585 ti = "16/17483/51585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17483/51585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17483 ÷ 216
    17483 ÷ 65536     		x = 0.266769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51585 ÷ 216
    51585 ÷ 65536     		y = 0.787124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266769409179688 × 2 - 1) × π
    -0.466461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46543102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.574249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80405728030119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46543102} λ = -1.46543102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80405728030119))-π/2
    2×atan(0.164629582996198)-π/2
    2×0.163165997702468-π/2
    0.326331995404936-1.57079632675     		φ = -1.24446433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46543102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.963013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24446433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.302554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17483 KachelY 51585 -1.46543102 -1.24446433 -83.963013 -71.302554
    Oben rechts KachelX + 1 17484 KachelY 51585 -1.46533515 -1.24446433 -83.957520 -71.302554
    Unten links KachelX 17483 KachelY + 1 51586 -1.46543102 -1.24449506 -83.963013 -71.304315
    Unten rechts KachelX + 1 17484 KachelY + 1 51586 -1.46533515 -1.24449506 -83.957520 -71.304315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24446433--1.24449506) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24446433--1.24449506) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46543102--1.46533515) × cos(-1.24446433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320570769952761 × 6371000     		do = 195.800705706625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46543102--1.46533515) × cos(-1.24449506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32054166159044 × 6371000     		du = 195.782926674915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24446433)-sin(-1.24449506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320570769952761-0.32054166159044)×R²
    abs(-1.46533515--1.46543102)×2.91083623202848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91083623202848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91083623202848e-05×40589641000000     		ar = 38332.2842837535m²