Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17481 / 51641
↖ ↑ ↗
← S 71.400916°
W 83.973999°		 ← 194.81 m → S 71.400916°
W 83.968506°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
S 71.402669°
W 83.973999°		 ← 194.79 m →
37 952 m²		 S 71.402669°
W 83.968506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266746520996094 y=0.787986755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266746520996094 × 216)
    floor (0.266746520996094 × 65536)
    floor (17481.5)     		tx = 17481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787986755371094 × 216)
    floor (0.787986755371094 × 65536)
    floor (51641.5)     		ty = 51641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17481 / 51641 ti = "16/17481/51641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17481/51641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17481 ÷ 216
    17481 ÷ 65536     		x = 0.266738891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51641 ÷ 216
    51641 ÷ 65536     		y = 0.787979125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266738891601562 × 2 - 1) × π
    -0.466522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46562277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787979125976562 × 2 - 1) × π
    -0.575958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80942621305864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46562277} λ = -1.46562277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80942621305864))-π/2
    2×atan(0.163748066354499)-π/2
    2×0.162307621198683-π/2
    0.324615242397366-1.57079632675     		φ = -1.24618108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46562277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.973999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24618108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.400916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17481 KachelY 51641 -1.46562277 -1.24618108 -83.973999 -71.400916
    Oben rechts KachelX + 1 17482 KachelY 51641 -1.46552690 -1.24618108 -83.968506 -71.400916
    Unten links KachelX 17481 KachelY + 1 51642 -1.46562277 -1.24621166 -83.973999 -71.402669
    Unten rechts KachelX + 1 17482 KachelY + 1 51642 -1.46552690 -1.24621166 -83.968506 -71.402669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24618108--1.24621166) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24618108--1.24621166) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46562277--1.46552690) × cos(-1.24618108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318944150577248 × 6371000     		do = 194.807186485617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46562277--1.46552690) × cos(-1.24621166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318915167514147 × 6371000     		du = 194.789483985138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24618108)-sin(-1.24621166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318944150577248-0.318915167514147)×R²
    abs(-1.46552690--1.46562277)×2.89830631006183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89830631006183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89830631006183e-05×40589641000000     		ar = 37951.6207286315m²