Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17481 / 24645
↖ ↑ ↗
← S 66.813547°
E 12.052002°		 ← 480.96 m → S 66.813547°
E 12.062988°		 →
↑
480.95 m
↓
↑
480.95 m
↓
S 66.817872°
E 12.052002°		 ← 480.88 m →
231 298 m²		 S 66.817872°
E 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533493041992188 y=0.752120971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533493041992188 × 215)
    floor (0.533493041992188 × 32768)
    floor (17481.5)     		tx = 17481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752120971679688 × 215)
    floor (0.752120971679688 × 32768)
    floor (24645.5)     		ty = 24645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17481 / 24645 ti = "15/17481/24645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17481/24645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17481 ÷ 215
    17481 ÷ 32768     		x = 0.533477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24645 ÷ 215
    24645 ÷ 32768     		y = 0.752105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533477783203125 × 2 - 1) × π
    0.06695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21034712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.50421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58402691104514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21034712} λ = 0.21034712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58402691104514))-π/2
    2×atan(0.205147322614834)-π/2
    2×0.202339973859524-π/2
    0.404679947719049-1.57079632675     		φ = -1.16611638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21034712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16611638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.813547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17481 KachelY 24645 0.21034712 -1.16611638 12.052002 -66.813547
    Oben rechts KachelX + 1 17482 KachelY 24645 0.21053886 -1.16611638 12.062988 -66.813547
    Unten links KachelX 17481 KachelY + 1 24646 0.21034712 -1.16619187 12.052002 -66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 17482 KachelY + 1 24646 0.21053886 -1.16619187 12.062988 -66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16611638--1.16619187) × R
    7.54899999999559e-05 × 6371000     		dl = 480.946789999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16611638--1.16619187) × R
    7.54899999999559e-05 × 6371000     		dr = 480.946789999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21034712-0.21053886) × cos(-1.16611638) × R
    0.000191739999999996 × 0.393724578527302 × 6371000     		do = 480.964314625751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21034712-0.21053886) × cos(-1.16619187) × R
    0.000191739999999996 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 480.879545006046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16611638)-sin(-1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393724578527302-0.393655184849278)×R²
    abs(0.21053886-0.21034712)×6.93936780243321e-05×R²
    0.000191739999999996×6.93936780243321e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.93936780243321e-05×40589641000000     		ar = 231297.858495279m²