Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17480 / 51640
↖ ↑ ↗
← S 71.399164°
W 83.979492°		 ← 194.82 m → S 71.399164°
W 83.973999°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
S 71.400916°
W 83.979492°		 ← 194.81 m →
37 955 m²		 S 71.400916°
W 83.973999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266731262207031 y=0.787971496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266731262207031 × 216)
    floor (0.266731262207031 × 65536)
    floor (17480.5)     		tx = 17480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787971496582031 × 216)
    floor (0.787971496582031 × 65536)
    floor (51640.5)     		ty = 51640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17480 / 51640 ti = "16/17480/51640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17480/51640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17480 ÷ 216
    17480 ÷ 65536     		x = 0.2667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51640 ÷ 216
    51640 ÷ 65536     		y = 0.7879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46571864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.575927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8093303392594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46571864} λ = -1.46571864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8093303392594))-π/2
    2×atan(0.163763766256331)-π/2
    2×0.162322911086871-π/2
    0.324645822173743-1.57079632675     		φ = -1.24615050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46571864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24615050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.399164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17480 KachelY 51640 -1.46571864 -1.24615050 -83.979492 -71.399164
    Oben rechts KachelX + 1 17481 KachelY 51640 -1.46562277 -1.24615050 -83.973999 -71.399164
    Unten links KachelX 17480 KachelY + 1 51641 -1.46571864 -1.24618108 -83.979492 -71.400916
    Unten rechts KachelX + 1 17481 KachelY + 1 51641 -1.46562277 -1.24618108 -83.973999 -71.400916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24615050--1.24618108) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24615050--1.24618108) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46571864--1.46562277) × cos(-1.24615050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318973133342092 × 6371000     		do = 194.824888803925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46571864--1.46562277) × cos(-1.24618108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318944150577248 × 6371000     		du = 194.807186485617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24615050)-sin(-1.24618108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318973133342092-0.318944150577248)×R²
    abs(-1.46562277--1.46571864)×2.89827648443652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89827648443652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89827648443652e-05×40589641000000     		ar = 37955.0696040455m²