Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1748 / 599
↖ ↑ ↗
← N 77.636542°
W 26.367188°		 ← 2 092.52 m → N 77.636542°
W 26.279297°		 →
↑
2 094.08 m
↓
↑
2 094.08 m
↓
N 77.617709°
W 26.367188°		 ← 2 095.66 m →
4 385 193 m²		 N 77.617709°
W 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4268798828125 y=0.1463623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4268798828125 × 212)
    floor (0.4268798828125 × 4096)
    floor (1748.5)     		tx = 1748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1463623046875 × 212)
    floor (0.1463623046875 × 4096)
    floor (599.5)     		ty = 599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1748 / 599 ti = "12/1748/599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1748/599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1748 ÷ 212
    1748 ÷ 4096     		x = 0.4267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 599 ÷ 212
    599 ÷ 4096     		y = 0.146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    -0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    0.70751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22273816158276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46019424} λ = -0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22273816158276))-π/2
    2×atan(9.23257657317856)-π/2
    2×1.46290479904407-π/2
    2.92580959808814-1.57079632675     		φ = 1.35501327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35501327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.636542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1748 KachelY 599 -0.46019424 1.35501327 -26.367188 77.636542
    Oben rechts KachelX + 1 1749 KachelY 599 -0.45866026 1.35501327 -26.279297 77.636542
    Unten links KachelX 1748 KachelY + 1 600 -0.46019424 1.35468458 -26.367188 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 1749 KachelY + 1 600 -0.45866026 1.35468458 -26.279297 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35501327-1.35468458) × R
    0.000328689999999909 × 6371000     		dl = 2094.08398999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35501327-1.35468458) × R
    0.000328689999999909 × 6371000     		dr = 2094.08398999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46019424--0.45866026) × cos(1.35501327) × R
    0.00153397999999999 × 0.214112390816571 × 6371000     		do = 2092.51752206205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46019424--0.45866026) × cos(1.35468458) × R
    0.00153397999999999 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 2095.65519597697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35501327)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214112390816571-0.214433446605324)×R²
    abs(-0.45866026--0.46019424)×0.000321055788753188×R²
    0.00153397999999999×0.000321055788753188×6371000²
    0.00153397999999999×0.000321055788753188×40589641000000     		ar = 4385192.75758193m²