Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1748 / 1981
↖ ↑ ↗
← N 79.444453°
W141.591797°		 ← 447.58 m → N 79.444453°
W141.569824°		 →
↑
447.69 m
↓
↑
447.69 m
↓
N 79.440427°
W141.591797°		 ← 447.75 m →
200 415 m²		 N 79.440427°
W141.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106719970703125 y=0.120941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106719970703125 × 214)
    floor (0.106719970703125 × 16384)
    floor (1748.5)     		tx = 1748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120941162109375 × 214)
    floor (0.120941162109375 × 16384)
    floor (1981.5)     		ty = 1981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1748 / 1981 ti = "14/1748/1981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1748/1981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1748 ÷ 214
    1748 ÷ 16384     		x = 0.106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1981 ÷ 214
    1981 ÷ 16384     		y = 0.12091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.78662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47124305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12091064453125 × 2 - 1) × π
    0.7581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38188866832135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47124305} λ = -2.47124305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38188866832135))-π/2
    2×atan(10.8253290247353)-π/2
    2×1.4786818021814-π/2
    2.95736360436279-1.57079632675     		φ = 1.38656728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47124305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38656728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.444453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1748 KachelY 1981 -2.47124305 1.38656728 -141.591797 79.444453
    Oben rechts KachelX + 1 1749 KachelY 1981 -2.47085955 1.38656728 -141.569824 79.444453
    Unten links KachelX 1748 KachelY + 1 1982 -2.47124305 1.38649701 -141.591797 79.440427
    Unten rechts KachelX + 1 1749 KachelY + 1 1982 -2.47085955 1.38649701 -141.569824 79.440427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38656728-1.38649701) × R
    7.02699999999279e-05 × 6371000     		dl = 447.690169999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38656728-1.38649701) × R
    7.02699999999279e-05 × 6371000     		dr = 447.690169999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47124305--2.47085955) × cos(1.38656728) × R
    0.00038349999999987 × 0.183188681084233 × 6371000     		do = 447.58096593631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47124305--2.47085955) × cos(1.38649701) × R
    0.00038349999999987 × 0.18325776150698 × 6371000     		du = 447.74974864798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38656728)-sin(1.38649701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183188681084233-0.18325776150698)×R²
    abs(-2.47085955--2.47124305)×6.90804227475583e-05×R²
    0.00038349999999987×6.90804227475583e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.90804227475583e-05×40589641000000     		ar = 200415.379991883m²