Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17478 / 51599
↖ ↑ ↗
← S 71.327192°
W 83.990478°		 ← 195.55 m → S 71.327192°
W 83.984986°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
S 71.328950°
W 83.990478°		 ← 195.53 m →
38 234 m²		 S 71.328950°
W 83.984986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266700744628906 y=0.787345886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266700744628906 × 216)
    floor (0.266700744628906 × 65536)
    floor (17478.5)     		tx = 17478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787345886230469 × 216)
    floor (0.787345886230469 × 65536)
    floor (51599.5)     		ty = 51599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17478 / 51599 ti = "16/17478/51599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17478/51599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17478 ÷ 216
    17478 ÷ 65536     		x = 0.266693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51599 ÷ 216
    51599 ÷ 65536     		y = 0.787338256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.46661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46591039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.574676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80539951349055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46591039} λ = -1.46591039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80539951349055))-π/2
    2×atan(0.164408759937121)-π/2
    2×0.162950994052878-π/2
    0.325901988105756-1.57079632675     		φ = -1.24489434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46591039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.990478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24489434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.327192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17478 KachelY 51599 -1.46591039 -1.24489434 -83.990478 -71.327192
    Oben rechts KachelX + 1 17479 KachelY 51599 -1.46581452 -1.24489434 -83.984986 -71.327192
    Unten links KachelX 17478 KachelY + 1 51600 -1.46591039 -1.24492503 -83.990478 -71.328950
    Unten rechts KachelX + 1 17479 KachelY + 1 51600 -1.46581452 -1.24492503 -83.984986 -71.328950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24489434--1.24492503) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24489434--1.24492503) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46591039--1.46581452) × cos(-1.24489434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320163424290857 × 6371000     		do = 195.551903958172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46591039--1.46581452) × cos(-1.24492503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320134349590218 × 6371000     		du = 195.534145486605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24489434)-sin(-1.24492503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320163424290857-0.320134349590218)×R²
    abs(-1.46581452--1.46591039)×2.90747006388981e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90747006388981e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90747006388981e-05×40589641000000     		ar = 38233.7434991827m²