Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17478 / 24230
↖ ↑ ↗
← S 64.951465°
E 12.019043°		 ← 517.22 m → S 64.951465°
E 12.030029°		 →
↑
517.13 m
↓
↑
517.13 m
↓
S 64.956116°
E 12.019043°		 ← 517.13 m →
267 451 m²		 S 64.956116°
E 12.030029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533401489257812 y=0.739456176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533401489257812 × 215)
    floor (0.533401489257812 × 32768)
    floor (17478.5)     		tx = 17478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739456176757812 × 215)
    floor (0.739456176757812 × 32768)
    floor (24230.5)     		ty = 24230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17478 / 24230 ti = "15/17478/24230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17478/24230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17478 ÷ 215
    17478 ÷ 32768     		x = 0.53338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24230 ÷ 215
    24230 ÷ 32768     		y = 0.73944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53338623046875 × 2 - 1) × π
    0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.4788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50445165767584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20977187} λ = 0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50445165767584))-π/2
    2×atan(0.222139068694957)-π/2
    2×0.21858970405864-π/2
    0.43717940811728-1.57079632675     		φ = -1.13361692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13361692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.951465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17478 KachelY 24230 0.20977187 -1.13361692 12.019043 -64.951465
    Oben rechts KachelX + 1 17479 KachelY 24230 0.20996362 -1.13361692 12.030029 -64.951465
    Unten links KachelX 17478 KachelY + 1 24231 0.20977187 -1.13369809 12.019043 -64.956116
    Unten rechts KachelX + 1 17479 KachelY + 1 24231 0.20996362 -1.13369809 12.030029 -64.956116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13361692--1.13369809) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dl = 517.134070000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13361692--1.13369809) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dr = 517.134070000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20977187-0.20996362) × cos(-1.13361692) × R
    0.000191749999999991 × 0.423385837724193 × 6371000     		do = 517.22475725798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20977187-0.20996362) × cos(-1.13369809) × R
    0.000191749999999991 × 0.423312300411479 × 6371000     		du = 517.134921190428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13361692)-sin(-1.13369809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423385837724193-0.423312300411479)×R²
    abs(0.20996362-0.20977187)×7.35373127145333e-05×R²
    0.000191749999999991×7.35373127145333e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.35373127145333e-05×40589641000000     		ar = 267451.315326897m²