Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17477 / 24221
↖ ↑ ↗
← S 64.909569°
E 12.008057°		 ← 518.01 m → S 64.909569°
E 12.019043°		 →
↑
517.96 m
↓
↑
517.96 m
↓
S 64.914227°
E 12.008057°		 ← 517.92 m →
268 285 m²		 S 64.914227°
E 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533370971679688 y=0.739181518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533370971679688 × 215)
    floor (0.533370971679688 × 32768)
    floor (17477.5)     		tx = 17477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739181518554688 × 215)
    floor (0.739181518554688 × 32768)
    floor (24221.5)     		ty = 24221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17477 / 24221 ti = "15/17477/24221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17477/24221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17477 ÷ 215
    17477 ÷ 32768     		x = 0.533355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24221 ÷ 215
    24221 ÷ 32768     		y = 0.739166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533355712890625 × 2 - 1) × π
    0.06671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20958013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.47833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50272592928952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20958013} λ = 0.20958013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50272592928952))-π/2
    2×atan(0.222522751362328)-π/2
    2×0.218955314233548-π/2
    0.437910628467096-1.57079632675     		φ = -1.13288570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20958013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.008057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13288570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.909569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17477 KachelY 24221 0.20958013 -1.13288570 12.008057 -64.909569
    Oben rechts KachelX + 1 17478 KachelY 24221 0.20977187 -1.13288570 12.019043 -64.909569
    Unten links KachelX 17477 KachelY + 1 24222 0.20958013 -1.13296700 12.008057 -64.914227
    Unten rechts KachelX + 1 17478 KachelY + 1 24222 0.20977187 -1.13296700 12.019043 -64.914227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13288570--1.13296700) × R
    8.12999999999509e-05 × 6371000     		dl = 517.962299999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13288570--1.13296700) × R
    8.12999999999509e-05 × 6371000     		dr = 517.962299999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20958013-0.20977187) × cos(-1.13288570) × R
    0.000191739999999996 × 0.424048172844133 × 6371000     		do = 518.006875728074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20958013-0.20977187) × cos(-1.13296700) × R
    0.000191739999999996 × 0.423974542940537 × 6371000     		du = 517.916931238828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13288570)-sin(-1.13296700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424048172844133-0.423974542940537)×R²
    abs(0.20977187-0.20958013)×7.36299035961063e-05×R²
    0.000191739999999996×7.36299035961063e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.36299035961063e-05×40589641000000     		ar = 268284.73898875m²