Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17475 / 51603
↖ ↑ ↗
← S 71.334225°
W 84.006958°		 ← 195.48 m → S 71.334225°
W 84.001465°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
S 71.335983°
W 84.006958°		 ← 195.46 m →
38 207 m²		 S 71.335983°
W 84.001465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266654968261719 y=0.787406921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266654968261719 × 216)
    floor (0.266654968261719 × 65536)
    floor (17475.5)     		tx = 17475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787406921386719 × 216)
    floor (0.787406921386719 × 65536)
    floor (51603.5)     		ty = 51603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17475 / 51603 ti = "16/17475/51603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17475/51603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17475 ÷ 216
    17475 ÷ 65536     		x = 0.266647338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51603 ÷ 216
    51603 ÷ 65536     		y = 0.787399291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266647338867188 × 2 - 1) × π
    -0.466705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46619801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787399291992188 × 2 - 1) × π
    -0.574798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80578300868752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46619801} λ = -1.46619801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80578300868752))-π/2
    2×atan(0.164345722055482)-π/2
    2×0.162889614635584-π/2
    0.325779229271169-1.57079632675     		φ = -1.24501710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46619801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.006958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24501710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.334225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17475 KachelY 51603 -1.46619801 -1.24501710 -84.006958 -71.334225
    Oben rechts KachelX + 1 17476 KachelY 51603 -1.46610214 -1.24501710 -84.001465 -71.334225
    Unten links KachelX 17475 KachelY + 1 51604 -1.46619801 -1.24504778 -84.006958 -71.335983
    Unten rechts KachelX + 1 17476 KachelY + 1 51604 -1.46610214 -1.24504778 -84.001465 -71.335983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24501710--1.24504778) × R
    3.06799999998386e-05 × 6371000     		dl = 195.462279998972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24501710--1.24504778) × R
    3.06799999998386e-05 × 6371000     		dr = 195.462279998972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46619801--1.46610214) × cos(-1.24501710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32004712367925 × 6371000     		do = 195.480868966959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46619801--1.46610214) × cos(-1.24504778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320018057246782 × 6371000     		du = 195.46311554549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24501710)-sin(-1.24504778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32004712367925-0.320018057246782)×R²
    abs(-1.46610214--1.46619801)×2.90664324675283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90664324675283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90664324675283e-05×40589641000000     		ar = 38207.4012854166m²