Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17473 / 24202
↖ ↑ ↗
← S 64.820907°
E 11.964111°		 ← 519.75 m → S 64.820907°
E 11.975098°		 →
↑
519.75 m
↓
↑
519.75 m
↓
S 64.825581°
E 11.964111°		 ← 519.66 m →
270 112 m²		 S 64.825581°
E 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533248901367188 y=0.738601684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533248901367188 × 215)
    floor (0.533248901367188 × 32768)
    floor (17473.5)     		tx = 17473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738601684570312 × 215)
    floor (0.738601684570312 × 32768)
    floor (24202.5)     		ty = 24202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17473 / 24202 ti = "15/17473/24202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17473/24202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17473 ÷ 215
    17473 ÷ 32768     		x = 0.533233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24202 ÷ 215
    24202 ÷ 32768     		y = 0.73858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533233642578125 × 2 - 1) × π
    0.06646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20881313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.4771728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4990827249184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20881313} λ = 0.20881313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4990827249184))-π/2
    2×atan(0.223334925783138)-π/2
    2×0.219729036726512-π/2
    0.439458073453025-1.57079632675     		φ = -1.13133825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20881313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13133825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.820907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17473 KachelY 24202 0.20881313 -1.13133825 11.964111 -64.820907
    Oben rechts KachelX + 1 17474 KachelY 24202 0.20900488 -1.13133825 11.975098 -64.820907
    Unten links KachelX 17473 KachelY + 1 24203 0.20881313 -1.13141983 11.964111 -64.825581
    Unten rechts KachelX + 1 17474 KachelY + 1 24203 0.20900488 -1.13141983 11.975098 -64.825581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13133825--1.13141983) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dl = 519.746180000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13133825--1.13141983) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dr = 519.746180000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20881313-0.20900488) × cos(-1.13133825) × R
    0.000191749999999991 × 0.425449096623732 × 6371000     		do = 519.745315312568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20881313-0.20900488) × cos(-1.13141983) × R
    0.000191749999999991 × 0.425375266747399 × 6371000     		du = 519.655121837816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13133825)-sin(-1.13141983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425449096623732-0.425375266747399)×R²
    abs(0.20900488-0.20881313)×7.3829876333642e-05×R²
    0.000191749999999991×7.3829876333642e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.3829876333642e-05×40589641000000     		ar = 270112.203499543m²