Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17472 / 15317
↖ ↑ ↗
← N 79.708306°
W132.011719°		 ← 54.56 m → N 79.708306°
W132.008972°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
N 79.707815°
W132.011719°		 ← 54.56 m →
2 979 m²		 N 79.707815°
W132.008972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133304595947266 y=0.116863250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133304595947266 × 217)
    floor (0.133304595947266 × 131072)
    floor (17472.5)     		tx = 17472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116863250732422 × 217)
    floor (0.116863250732422 × 131072)
    floor (15317.5)     		ty = 15317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17472 / 15317 ti = "17/17472/15317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17472/15317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17472 ÷ 217
    17472 ÷ 131072     		x = 0.13330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15317 ÷ 217
    15317 ÷ 131072     		y = 0.116859436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30403914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116859436035156 × 2 - 1) × π
    0.766281127929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.4073431620196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30403914} λ = -2.30403914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4073431620196))-π/2
    2×atan(11.1044192755807)-π/2
    2×1.48098435211898-π/2
    2.96196870423796-1.57079632675     		φ = 1.39117238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30403914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39117238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.708306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17472 KachelY 15317 -2.30403914 1.39117238 -132.011719 79.708306
    Oben rechts KachelX + 1 17473 KachelY 15317 -2.30399121 1.39117238 -132.008972 79.708306
    Unten links KachelX 17472 KachelY + 1 15318 -2.30403914 1.39116381 -132.011719 79.707815
    Unten rechts KachelX + 1 17473 KachelY + 1 15318 -2.30399121 1.39116381 -132.008972 79.707815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39117238-1.39116381) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39117238-1.39116381) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30403914--2.30399121) × cos(1.39117238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178659583201727 × 6371000     		do = 54.5558530054665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30403914--2.30399121) × cos(1.39116381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178668015311989 × 6371000     		du = 54.5584278517734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39117238)-sin(1.39116381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178659583201727-0.178668015311989)×R²
    abs(-2.30399121--2.30403914)×8.43211026238522e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43211026238522e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43211026238522e-06×40589641000000     		ar = 2978.79095219417m²