Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1747 / 532
↖ ↑ ↗
← N 78.836065°
W 26.455078°		 ← 1 892.21 m → N 78.836065°
W 26.367188°		 →
↑
1 893.65 m
↓
↑
1 893.65 m
↓
N 78.819035°
W 26.455078°		 ← 1 895.06 m →
3 585 895 m²		 N 78.819035°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4266357421875 y=0.1300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4266357421875 × 212)
    floor (0.4266357421875 × 4096)
    floor (1747.5)     		tx = 1747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1300048828125 × 212)
    floor (0.1300048828125 × 4096)
    floor (532.5)     		ty = 532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1747 / 532 ti = "12/1747/532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1747/532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1747 ÷ 212
    1747 ÷ 4096     		x = 0.426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 532 ÷ 212
    532 ÷ 4096     		y = 0.1298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32551487436816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46172822} λ = -0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32551487436816))-π/2
    2×atan(10.2319468969953)-π/2
    2×1.47337261913024-π/2
    2.94674523826048-1.57079632675     		φ = 1.37594891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37594891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.836065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1747 KachelY 532 -0.46172822 1.37594891 -26.455078 78.836065
    Oben rechts KachelX + 1 1748 KachelY 532 -0.46019424 1.37594891 -26.367188 78.836065
    Unten links KachelX 1747 KachelY + 1 533 -0.46172822 1.37565168 -26.455078 78.819035
    Unten rechts KachelX + 1 1748 KachelY + 1 533 -0.46019424 1.37565168 -26.367188 78.819035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37594891-1.37565168) × R
    0.000297229999999926 × 6371000     		dl = 1893.65232999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37594891-1.37565168) × R
    0.000297229999999926 × 6371000     		dr = 1893.65232999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46172822--0.46019424) × cos(1.37594891) × R
    0.00153398000000005 × 0.193616841309623 × 6371000     		do = 1892.21479178099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46172822--0.46019424) × cos(1.37565168) × R
    0.00153398000000005 × 0.193908438335909 × 6371000     		du = 1895.06456560565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37594891)-sin(1.37565168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193616841309623-0.193908438335909)×R²
    abs(-0.46019424--0.46172822)×0.000291597026286228×R²
    0.00153398000000005×0.000291597026286228×6371000²
    0.00153398000000005×0.000291597026286228×40589641000000     		ar = 3585895.21614023m²