Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17462 / 51582
↖ ↑ ↗
← S 71.297271°
W 84.078369°		 ← 195.85 m → S 71.297271°
W 84.072876°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 71.299032°
W 84.078369°		 ← 195.84 m →
38 355 m²		 S 71.299032°
W 84.072876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266456604003906 y=0.787086486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266456604003906 × 216)
    floor (0.266456604003906 × 65536)
    floor (17462.5)     		tx = 17462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787086486816406 × 216)
    floor (0.787086486816406 × 65536)
    floor (51582.5)     		ty = 51582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17462 / 51582 ti = "16/17462/51582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17462/51582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17462 ÷ 216
    17462 ÷ 65536     		x = 0.266448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51582 ÷ 216
    51582 ÷ 65536     		y = 0.787078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.46710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46744437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.57415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80376965890347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46744437} λ = -1.46744437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80376965890347))-π/2
    2×atan(0.164676940797197)-π/2
    2×0.163212105489239-π/2
    0.326424210978478-1.57079632675     		φ = -1.24437212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46744437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.078369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24437212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.297271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17462 KachelY 51582 -1.46744437 -1.24437212 -84.078369 -71.297271
    Oben rechts KachelX + 1 17463 KachelY 51582 -1.46734850 -1.24437212 -84.072876 -71.297271
    Unten links KachelX 17462 KachelY + 1 51583 -1.46744437 -1.24440286 -84.078369 -71.299032
    Unten rechts KachelX + 1 17463 KachelY + 1 51583 -1.46734850 -1.24440286 -84.072876 -71.299032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24437212--1.24440286) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24437212--1.24440286) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46744437--1.46734850) × cos(-1.24437212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320658112167159 × 6371000     		do = 195.854053262984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46744437--1.46734850) × cos(-1.24440286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320628995241246 × 6371000     		du = 195.836269000737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24437212)-sin(-1.24440286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320658112167159-0.320628995241246)×R²
    abs(-1.46734850--1.46744437)×2.91169259129531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91169259129531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91169259129531e-05×40589641000000     		ar = 38355.205496313m²