Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1746 / 402
↖ ↑ ↗
← N 80.844901°
W 26.542969°		 ← 1 554.96 m → N 80.844901°
W 26.455078°		 →
↑
1 556.12 m
↓
↑
1 556.12 m
↓
N 80.830907°
W 26.542969°		 ← 1 557.31 m →
2 421 527 m²		 N 80.830907°
W 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4263916015625 y=0.0982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4263916015625 × 212)
    floor (0.4263916015625 × 4096)
    floor (1746.5)     		tx = 1746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982666015625 × 212)
    floor (0.0982666015625 × 4096)
    floor (402.5)     		ty = 402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1746 / 402 ti = "12/1746/402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1746/402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1746 ÷ 212
    1746 ÷ 4096     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 402 ÷ 212
    402 ÷ 4096     		y = 0.09814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09814453125 × 2 - 1) × π
    0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5249323767876))-π/2
    2×atan(12.4900506177025)-π/2
    2×1.49090301989113-π/2
    2.98180603978225-1.57079632675     		φ = 1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1746 KachelY 402 -0.46326220 1.41100971 -26.542969 80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 1747 KachelY 402 -0.46172822 1.41100971 -26.455078 80.844901
    Unten links KachelX 1746 KachelY + 1 403 -0.46326220 1.41076546 -26.542969 80.830907
    Unten rechts KachelX + 1 1747 KachelY + 1 403 -0.46172822 1.41076546 -26.455078 80.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41100971-1.41076546) × R
    0.000244250000000168 × 6371000     		dl = 1556.11675000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41100971-1.41076546) × R
    0.000244250000000168 × 6371000     		dr = 1556.11675000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46172822) × cos(1.41100971) × R
    0.00153397999999999 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 1554.95590466998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46172822) × cos(1.41076546) × R
    0.00153397999999999 × 0.159348679080418 × 6371000     		du = 1557.31250219364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41100971)-sin(1.41076546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.159348679080418)×R²
    abs(-0.46172822--0.46326220)×0.0002411338135348×R²
    0.00153397999999999×0.0002411338135348×6371000²
    0.00153397999999999×0.0002411338135348×40589641000000     		ar = 2421526.5112529m²