Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17459 / 51579
↖ ↑ ↗
← S 71.291986°
W 84.094848°		 ← 195.91 m → S 71.291986°
W 84.089356°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 71.293747°
W 84.094848°		 ← 195.89 m →
38 366 m²		 S 71.293747°
W 84.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266410827636719 y=0.787040710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266410827636719 × 216)
    floor (0.266410827636719 × 65536)
    floor (17459.5)     		tx = 17459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787040710449219 × 216)
    floor (0.787040710449219 × 65536)
    floor (51579.5)     		ty = 51579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17459 / 51579 ti = "16/17459/51579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17459/51579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17459 ÷ 216
    17459 ÷ 65536     		x = 0.266403198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51579 ÷ 216
    51579 ÷ 65536     		y = 0.787033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266403198242188 × 2 - 1) × π
    -0.467193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46773199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787033081054688 × 2 - 1) × π
    -0.574066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80348203750575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46773199} λ = -1.46773199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80348203750575))-π/2
    2×atan(0.164724312221272)-π/2
    2×0.16325822583903-π/2
    0.326516451678059-1.57079632675     		φ = -1.24427988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46773199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.094848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24427988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.291986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17459 KachelY 51579 -1.46773199 -1.24427988 -84.094848 -71.291986
    Oben rechts KachelX + 1 17460 KachelY 51579 -1.46763612 -1.24427988 -84.089356 -71.291986
    Unten links KachelX 17459 KachelY + 1 51580 -1.46773199 -1.24431062 -84.094848 -71.293747
    Unten rechts KachelX + 1 17460 KachelY + 1 51580 -1.46763612 -1.24431062 -84.089356 -71.293747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24427988--1.24431062) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24427988--1.24431062) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46773199--1.46763612) × cos(-1.24427988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320745480070065 × 6371000     		do = 195.90741650957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46773199--1.46763612) × cos(-1.24431062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320716364053447 × 6371000     		du = 195.889632802709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24427988)-sin(-1.24431062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320745480070065-0.320716364053447)×R²
    abs(-1.46763612--1.46773199)×2.91160166178694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91160166178694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91160166178694e-05×40589641000000     		ar = 38365.6564512373m²