Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17453 / 51537
↖ ↑ ↗
← S 71.217844°
W 84.127808°		 ← 196.68 m → S 71.217844°
W 84.122314°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 71.219612°
W 84.127808°		 ← 196.66 m →
38 679 m²		 S 71.219612°
W 84.122314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266319274902344 y=0.786399841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266319274902344 × 216)
    floor (0.266319274902344 × 65536)
    floor (17453.5)     		tx = 17453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786399841308594 × 216)
    floor (0.786399841308594 × 65536)
    floor (51537.5)     		ty = 51537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17453 / 51537 ti = "16/17453/51537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17453/51537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17453 ÷ 216
    17453 ÷ 65536     		x = 0.266311645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51537 ÷ 216
    51537 ÷ 65536     		y = 0.786392211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266311645507812 × 2 - 1) × π
    -0.467376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46830724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786392211914062 × 2 - 1) × π
    -0.572784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79945533793767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46830724} λ = -1.46830724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79945533793767))-π/2
    2×atan(0.165388944777915)-π/2
    2×0.163905231550942-π/2
    0.327810463101885-1.57079632675     		φ = -1.24298586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46830724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24298586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.217844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17453 KachelY 51537 -1.46830724 -1.24298586 -84.127808 -71.217844
    Oben rechts KachelX + 1 17454 KachelY 51537 -1.46821136 -1.24298586 -84.122314 -71.217844
    Unten links KachelX 17453 KachelY + 1 51538 -1.46830724 -1.24301673 -84.127808 -71.219612
    Unten rechts KachelX + 1 17454 KachelY + 1 51538 -1.46821136 -1.24301673 -84.122314 -71.219612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24298586--1.24301673) × R
    3.08699999997941e-05 × 6371000     		dl = 196.672769998688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24298586--1.24301673) × R
    3.08699999997941e-05 × 6371000     		dr = 196.672769998688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46830724--1.46821136) × cos(-1.24298586) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321970862185493 × 6371000     		do = 196.676377682756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46830724--1.46821136) × cos(-1.24301673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321941635872605 × 6371000     		du = 196.658524746273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24298586)-sin(-1.24301673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321970862185493-0.321941635872605)×R²
    abs(-1.46821136--1.46830724)×2.9226312887709e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9226312887709e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9226312887709e-05×40589641000000     		ar = 38679.1324020057m²