Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1745 / 4563
↖ ↑ ↗
← N 62.073026°
W141.657715°		 ← 1 144.27 m → N 62.073026°
W141.635742°		 →
↑
1 144.49 m
↓
↑
1 144.49 m
↓
N 62.062733°
W141.657715°		 ← 1 144.66 m →
1 309 823 m²		 N 62.062733°
W141.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106536865234375 y=0.278533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106536865234375 × 214)
    floor (0.106536865234375 × 16384)
    floor (1745.5)     		tx = 1745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278533935546875 × 214)
    floor (0.278533935546875 × 16384)
    floor (4563.5)     		ty = 4563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1745 / 4563 ti = "14/1745/4563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1745/4563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1745 ÷ 214
    1745 ÷ 16384     		x = 0.10650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4563 ÷ 214
    4563 ÷ 16384     		y = 0.27850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.7869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.47239353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27850341796875 × 2 - 1) × π
    0.4429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39170406976947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47239353} λ = -2.47239353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39170406976947))-π/2
    2×atan(4.02169747017979)-π/2
    2×1.32708750186871-π/2
    2.65417500373742-1.57079632675     		φ = 1.08337868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47239353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08337868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.073026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1745 KachelY 4563 -2.47239353 1.08337868 -141.657715 62.073026
    Oben rechts KachelX + 1 1746 KachelY 4563 -2.47201004 1.08337868 -141.635742 62.073026
    Unten links KachelX 1745 KachelY + 1 4564 -2.47239353 1.08319904 -141.657715 62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 1746 KachelY + 1 4564 -2.47201004 1.08319904 -141.635742 62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08337868-1.08319904) × R
    0.000179640000000036 × 6371000     		dl = 1144.48644000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08337868-1.08319904) × R
    0.000179640000000036 × 6371000     		dr = 1144.48644000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47239353--2.47201004) × cos(1.08337868) × R
    0.000383490000000375 × 0.468345826423324 × 6371000     		do = 1144.26944995336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47239353--2.47201004) × cos(1.08319904) × R
    0.000383490000000375 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 1144.65721870208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08337868)-sin(1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468345826423324-0.468504538932068)×R²
    abs(-2.47201004--2.47239353)×0.000158712508743553×R²
    0.000383490000000375×0.000158712508743553×6371000²
    0.000383490000000375×0.000158712508743553×40589641000000     		ar = 1309822.77073775m²