Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17446 / 24423
↖ ↑ ↗
← S 65.834278°
E 11.667480°		 ← 500.11 m → S 65.834278°
E 11.678467°		 →
↑
500.06 m
↓
↑
500.06 m
↓
S 65.838776°
E 11.667480°		 ← 500.02 m →
250 064 m²		 S 65.838776°
E 11.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532424926757812 y=0.745346069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532424926757812 × 215)
    floor (0.532424926757812 × 32768)
    floor (17446.5)     		tx = 17446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745346069335938 × 215)
    floor (0.745346069335938 × 32768)
    floor (24423.5)     		ty = 24423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17446 / 24423 ti = "15/17446/24423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17446/24423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17446 ÷ 215
    17446 ÷ 32768     		x = 0.53240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24423 ÷ 215
    24423 ÷ 32768     		y = 0.745330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53240966796875 × 2 - 1) × π
    0.0648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20363595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.49066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54145894418253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20363595} λ = 0.20363595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54145894418253))-π/2
    2×atan(0.214068559412322)-π/2
    2×0.210885702743391-π/2
    0.421771405486781-1.57079632675     		φ = -1.14902492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20363595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14902492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.834278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17446 KachelY 24423 0.20363595 -1.14902492 11.667480 -65.834278
    Oben rechts KachelX + 1 17447 KachelY 24423 0.20382770 -1.14902492 11.678467 -65.834278
    Unten links KachelX 17446 KachelY + 1 24424 0.20363595 -1.14910341 11.667480 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 17447 KachelY + 1 24424 0.20382770 -1.14910341 11.678467 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14902492--1.14910341) × R
    7.84899999999311e-05 × 6371000     		dl = 500.059789999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14902492--1.14910341) × R
    7.84899999999311e-05 × 6371000     		dr = 500.059789999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20363595-0.20382770) × cos(-1.14902492) × R
    0.000191749999999991 × 0.409377264414956 × 6371000     		do = 500.111334266914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20363595-0.20382770) × cos(-1.14910341) × R
    0.000191749999999991 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 500.023849253065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14902492)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409377264414956-0.409305651609581)×R²
    abs(0.20382770-0.20363595)×7.16128053755427e-05×R²
    0.000191749999999991×7.16128053755427e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.16128053755427e-05×40589641000000     		ar = 250063.695048893m²