Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17435 / 1047
↖ ↑ ↗
← N 84.529329°
W 84.226684°		 ← 58.23 m → N 84.529329°
W 84.221191°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 84.528806°
W 84.226684°		 ← 58.24 m →
3 391 m²		 N 84.528806°
W 84.221191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266044616699219 y=0.0159835815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266044616699219 × 216)
    floor (0.266044616699219 × 65536)
    floor (17435.5)     		tx = 17435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0159835815429688 × 216)
    floor (0.0159835815429688 × 65536)
    floor (1047.5)     		ty = 1047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17435 / 1047 ti = "16/17435/1047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17435/1047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17435 ÷ 216
    17435 ÷ 65536     		x = 0.266036987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1047 ÷ 216
    1047 ÷ 65536     		y = 0.0159759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266036987304688 × 2 - 1) × π
    -0.467926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47003296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0159759521484375 × 2 - 1) × π
    0.968048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 3.0412127856956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47003296} λ = -1.47003296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.0412127856956))-π/2
    2×atan(20.930612195498)-π/2
    2×1.52305571828779-π/2
    3.04611143657559-1.57079632675     		φ = 1.47531511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47003296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.226684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47531511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.529329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17435 KachelY 1047 -1.47003296 1.47531511 -84.226684 84.529329
    Oben rechts KachelX + 1 17436 KachelY 1047 -1.46993709 1.47531511 -84.221191 84.529329
    Unten links KachelX 17435 KachelY + 1 1048 -1.47003296 1.47530597 -84.226684 84.528806
    Unten rechts KachelX + 1 17436 KachelY + 1 1048 -1.46993709 1.47530597 -84.221191 84.528806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47531511-1.47530597) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dl = 58.2309399997647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47531511-1.47530597) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dr = 58.2309399997647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47003296--1.46993709) × cos(1.47531511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.0953362045698108 × 6371000     		do = 58.2301877894573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47003296--1.46993709) × cos(1.47530597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.0953453029343224 × 6371000     		du = 58.235744959228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47531511)-sin(1.47530597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0953362045698108-0.0953453029343224)×R²
    abs(-1.46993709--1.47003296)×9.09836451162827e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.09836451162827e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.09836451162827e-06×40589641000000     		ar = 3390.96037073375m²