Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17424 / 13328
↖ ↑ ↗
← N 72.369104°
W 84.287110°		 ← 185.02 m → N 72.369104°
W 84.281616°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 72.367441°
W 84.287110°		 ← 185.03 m →
34 232 m²		 N 72.367441°
W 84.281616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265876770019531 y=0.203376770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265876770019531 × 216)
    floor (0.265876770019531 × 65536)
    floor (17424.5)     		tx = 17424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203376770019531 × 216)
    floor (0.203376770019531 × 65536)
    floor (13328.5)     		ty = 13328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17424 / 13328 ti = "16/17424/13328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17424/13328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17424 ÷ 216
    17424 ÷ 65536     		x = 0.265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13328 ÷ 216
    13328 ÷ 65536     		y = 0.203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47108758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203369140625 × 2 - 1) × π
    0.59326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47108758} λ = -1.47108758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86378665722778))-π/2
    2×atan(6.44810737314123)-π/2
    2×1.41693773857508-π/2
    2.83387547715016-1.57079632675     		φ = 1.26307915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47108758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.287110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26307915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.369104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17424 KachelY 13328 -1.47108758 1.26307915 -84.287110 72.369104
    Oben rechts KachelX + 1 17425 KachelY 13328 -1.47099170 1.26307915 -84.281616 72.369104
    Unten links KachelX 17424 KachelY + 1 13329 -1.47108758 1.26305011 -84.287110 72.367441
    Unten rechts KachelX + 1 17425 KachelY + 1 13329 -1.47099170 1.26305011 -84.281616 72.367441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26307915-1.26305011) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26307915-1.26305011) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47108758--1.47099170) × cos(1.26307915) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.302883834286425 × 6371000     		do = 185.017038442245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47108758--1.47099170) × cos(1.26305011) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.302911510076807 × 6371000     		du = 185.03394423976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26307915)-sin(1.26305011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302883834286425-0.302911510076807)×R²
    abs(-1.47099170--1.47108758)×2.76757903817093e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.76757903817093e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.76757903817093e-05×40589641000000     		ar = 34232.2766537115m²