Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17422 / 11293
↖ ↑ ↗
← N 75.457210°
W 84.298096°		 ← 153.37 m → N 75.457210°
W 84.292603°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 75.455830°
W 84.298096°		 ← 153.38 m →
23 530 m²		 N 75.455830°
W 84.292603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265846252441406 y=0.172325134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265846252441406 × 216)
    floor (0.265846252441406 × 65536)
    floor (17422.5)     		tx = 17422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172325134277344 × 216)
    floor (0.172325134277344 × 65536)
    floor (11293.5)     		ty = 11293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17422 / 11293 ti = "16/17422/11293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17422/11293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17422 ÷ 216
    17422 ÷ 65536     		x = 0.265838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11293 ÷ 216
    11293 ÷ 65536     		y = 0.172317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.46832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47127932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172317504882812 × 2 - 1) × π
    0.655364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05888983868141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47127932} λ = -1.47127932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05888983868141))-π/2
    2×atan(7.83726435125427)-π/2
    2×1.44388654243724-π/2
    2.88777308487449-1.57079632675     		φ = 1.31697676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47127932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.298096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31697676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.457210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17422 KachelY 11293 -1.47127932 1.31697676 -84.298096 75.457210
    Oben rechts KachelX + 1 17423 KachelY 11293 -1.47118345 1.31697676 -84.292603 75.457210
    Unten links KachelX 17422 KachelY + 1 11294 -1.47127932 1.31695268 -84.298096 75.455830
    Unten rechts KachelX + 1 17423 KachelY + 1 11294 -1.47118345 1.31695268 -84.292603 75.455830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31697676-1.31695268) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31697676-1.31695268) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47127932--1.47118345) × cos(1.31697676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251102971271863 × 6371000     		do = 153.370623863512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47127932--1.47118345) × cos(1.31695268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251126279685018 × 6371000     		du = 153.384860357205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31697676)-sin(1.31695268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251102971271863-0.251126279685018)×R²
    abs(-1.47118345--1.47127932)×2.33084131546768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33084131546768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33084131546768e-05×40589641000000     		ar = 23530.2438483071m²